法國數學家龐加萊曾經提出一個問題：既然數學的證據建立于所有正常心智都能接受的邏輯規(guī)則之上，那么，為什么有人不理解數學呢？這是如何發(fā)生的呢？這個問題無疑牽涉到數學教育，以及數學和人類認知的關系等問題：數學是自然界的客觀規(guī)律，還是人類大腦純粹的主觀構造？我們要怎樣才能學好數學？

前不久，首都師范大學特聘教授李克正在一場名為“如何學數學”的專題講座上探討了這一問題。本文根據講座內容整理而成，希望對您會有所啟發(fā)。

撰文 | 李克正（首都師范大學特聘教授）

這個題目不好講，因為每個人應該根據自己的情況找到最適合自己的學習方法，即使只是要給某一個同學提建議，也得先對這個同學有充分的了解。

但反過來看，常見很多人對于數學采取的不適當學習方法，倒是有很多共同之處。簡言之，正確的道路各不相同，錯誤的道路卻常雷同。我們就從這個角度開始討論。

0 不要相信“教育學家”的話

很多人以為數學教育屬于教育學的范圍，其實不對。數學教育有很多實質上的特殊性，在教育學的教科書中完全沒有涉及。例如有教育家說學習知識的一般方法是“理解+記憶”，這對于學習數學就不適用。

很多中學招聘數學教師，寧可要數學專業(yè)出身但沒學過教育學的，也不愿要教育學出身但數學基礎薄弱的。不久前我看到美國一個數學教育領域的教授說，他的最差的學生都是教育學出身。

近來中國和美國的很多數學教育方面的專家在討論教育學家對于數學教育的傷害，但這離開本報告的題目較遠，所以我們僅僅提醒大家不要被某些“教育學家”誤導。應該針對數學學習的特殊性來討論。

那么，與其他學科相比，數學學習有些什么特殊性呢？

（1）數學根本上來自自然界，因此學習數學要擁抱自然，特別是要避免脫離自然。

（2） 學習數學的最強動力是興趣，因此培養(yǎng)興趣對于學好數學至關重要。

（3） 學習數學需要實驗，實驗的質量對于數學學習的質量有重要影響。

（4）數學的內容極為廣闊，因此學習的內容 （包括教科書）的選擇極為重要。

（5）數學競賽對于激勵數學興趣和提高數學水平有重要的作用，但要避免一些誤區(qū)。

（6）數學是科學，所以學習數學應該用學習科學的方法，而不是用例如學習技術或法規(guī)的方法。

（7）學習數學的過程不僅有知識的積累，而且有理念的提升，為了培養(yǎng)數學素質尤其需要因材施教。

我們下面針對每個特點講得具體些，能否講完并不要緊，只希望同學們能看到一些要點。因此，如果有問題請隨時提出。

1學習數學要擁抱自然

首先問大家一個問題：

數學是自然界的客觀規(guī)律，還是人腦子中的純粹主觀的東西？

不要求大家馬上回答，因為這個問題即使在成年人中，甚至在科學家中也一直有著激烈的爭論，是個根本性的哲學問題。

徹底的唯物主義者認為，數學根本上來自自然界，因此學習數學要擁抱自然，特別是要避免脫離自然。一些數學家（如小平邦彥）采用“數覺”這個術語，即對于數學對象的物理直觀。

然而一種非常普遍的觀點是：數學是“理論科學”，只是動動腦子的事，“數學對很多人來說是枯燥的、深奧的、抽象的”（參看參考文獻 [3]），甚至是乏味的、無用的、無聊的。更有些極端的看法，否認數學是科學，否認數學所研究的是自然規(guī)律，認為自然數純粹是人腦子里的東西，或者是“存在于天上的純粹理性”，或者純粹是文字和符號的游戲，等等。抱著這樣的態(tài)度學習數學，難免脫離實際，甚至完全沒有“數覺”。

學習數學不是只要認識數字，會寫會算就行。首先要理解自然數的“自然”意義，沒有“數覺”卻只管練習記數、計算等，是學不懂數學的。

小學生做很多數學應用題，中學生卻很少做甚至不做，其實中學生更應該做，這是回歸自然的一個重要途徑。什么樣的習題是“自然”的呢？這不太容易說清楚，但“自然”的反義詞是“人工”，那些在自然界中不存在的現(xiàn)象，人為編造的條件，牽強附會的假設，與數學無關的語言障礙或陷阱等都屬于這一類。例如小學教科書上有個題目：

在一個倉庫里有很多葡萄，經過一段時間由于水分蒸發(fā)重量變輕了。重量少了多少呢？答案是 50% 。

這樣不“自然”的習題很常見。

華羅庚先生當年做數學普及報告，經常舉日常生活中應用數學的生動例子。如

• 蜂巢為什么最省材料？

• 什么樣的茶葉桶蓋掉不下去？

• 街口的紅綠燈應該怎樣設計？

• 蘇聯(lián)導彈試驗場的奇怪形狀說明了什么？

這些報告都給了聽眾們非常深刻的印象，一個重要的原因就是其中有很多自然的例子。

還有一種常見的論調，說生活中只需要用到小學的數學，更深的數學沒用。實際上現(xiàn)在大多數人學的數學都是很成熟的數學，只要學通了都很有用。為了讓同學們自己有所體會，這里留一個小學水平的習題。

習題：

某商店舉辦返券銷售活動，小萌和媽媽聽說后一起去逛商店，希望能“淘”到幾件平時舍不得買的東西。到店里看到這樣的規(guī)則：

購買服裝類每付現(xiàn)金 100 元返回禮券 80 元，鞋類每付 100 元返券 60 元，用具類每付 100 元返券 40 元，所付現(xiàn)金不足 100 元的部分不返券，所返的券可在返券銷售活動期間在店里買任何商品。

媽媽看中一套衣服，標價為 498 元；小萌看中一雙運動鞋，價格為 320 元；媽媽還想買一套炊具，價格為 245 元。怎樣買才能盡可能省錢呢？

中學生在數學的應用方面應該比小學生有更高的要求，不僅要會做應用題，而且要能夠將實際工作中的問題轉化為數學問題并予以解決，就是說要培養(yǎng)數學建模的能力。

陳省身先生說過：“數學是一切科學的基礎，數學的訓練普遍的有用”。但對于數學有嚴重偏見的人（包括缺乏數覺的人）是不可能理解這兩句話的。

2 培養(yǎng)數學興趣

數學揭示自然界的規(guī)律，而人本來就屬于自然界，了解自然界的欲望是人類的本能，因此對數學的興趣是可以自然地形成的。但是，如果學的或做的是不自然的數學，則無助于培養(yǎng)數學興趣，甚至會傷害數學興趣。

學習數學的最強動力是興趣，比其他動力如功利、榮譽甚至強迫等的動力都要大。遺憾的是，我遇到過一些同學本來很喜歡數學，后來卻由于不當的數學教育變得不喜歡甚至恨數學。

陳省身先生給小學生的一個題字是“數學好玩”。不知在座的有多少同學覺得數學好玩。

常州懷德苑小學的大多數同學都很喜歡數學，他們在校園里到處都會受到數學的熏陶（見下圖）。他們上數學課也常是在玩中學。該校還寫了一本書《玩數學》（參看參考文獻 [9]），系統(tǒng)地說明了在這方面的理念、成績和規(guī)劃。

校園里的“數學”。

3 數學實驗

作為科學，數學產生于實驗，在這一點上與物理、化學等都是一致的。離開自然界，數學根本不可能存在——不可能產生。最早的數學研究對象—— 自然數的客觀存在，是一個物理事實，人類只是“發(fā)現(xiàn)”而不是“發(fā)明”了自然數。

小孩子扳著手指數數，就是一個數學實驗（當然是很簡陋的）。小時候玩的一些玩具中也有簡單的數學實驗。作為計算工具已經淘汰的算盤，也是一種數學實驗設備，它的數學教育功能尚未完全過時。在初中數學教育中，原來也有必備的通用實驗工具—— 圓規(guī)和直尺。

一個班的學生中一般總有幾個學得不好的，很多人將此簡單地歸因于這些學生“笨”或者“懶”，還有歸因于“智商”的（而且有些人將智商說成是先天因素）。另一方面，經常也總有幾個學生學得很好，這也使一些人認為他們“聰明”“勤奮”或“智商高”，由此往往會得出一個錯誤的判斷，就是在數學教學中不需要實驗，沒有實驗他們不是也學得很好嗎？其實不然。少數學生不需要某個實驗，可能是因為他們以前做過有同樣效果的實驗，但其他學生仍是需要的。

近年來數學實驗在數學教育中日益受到重視，只是實驗手段還有待提高。例如，

• 為讓學生理解全等的概念，現(xiàn)在最好的中學數學教師所采用的實驗仍是用兩張透明膠片滑移使圖形重合，還沒有比這更好的手段；

• 為了理解長方體，可以用疊紙盒的方法做實驗，這實驗用電腦應是可以虛擬化的（在電腦顯示屏上看到），但至今還沒有人做出相應的程序，而做這樣一個程序，工程不小、成本也不低；

• 為了理解用平面切割圓錐得到圓錐曲線，一個簡單而粗糙的實驗是用手電筒照墻面，現(xiàn)在還沒有比這更方便更精確的手段，等等。

現(xiàn)在很多小學建立了數學實驗室，例如懷德苑小學（見下圖）。

數學實驗室

除了這些實驗設備外，一個較為先進的數學實驗手段是計算機虛擬實驗（參看參考文獻 [17]）。張景中先生建立的“超級畫板”可以作為一個實驗平臺，我們與張先生合作建立了一些虛擬實驗，包括運動、角、勾股定理（割補法）、數軸、牛頓-萊布尼茲公式等。

在更深的數學中，實驗同樣有助于學習。例如下面的實驗是為了理解群論的（hexa1，2，6）。

4 學習內容的選擇

一個中小學老師能把給定的數學教程教好，就是優(yōu)秀教師了。至于數學教程中應該有哪些內容，這不是老師應該管的，而且一般是管不了的。

“教什么”的問題，在其他學科中一般不很尖銳，至少有一部分內容是近年來的新進展。例如生命科學，現(xiàn)在都要講基因，而在六十年前完全沒有，因為那時基因還沒發(fā)現(xiàn)。

但數學卻不然，一般人學的最新也是幾百年前的數學，即使兩千多年前歐幾里德寫的《幾何原本》，現(xiàn)在也仍然可用。在數千年甚至更長的歷史時期中，數學有豐富的積累，其中有很多是永遠不會過時的。這么多的內容，任何人都不可能讀完。那么一般人應該學哪些內容，就是一個非常不平凡的問題了。

數學的內容極為廣闊，因此學習的內容（包括教科書）的選擇極為重要。這就是需要高水平的數學家來為中學生寫書的原因。數學大師傅種孫、吳文俊等都翻譯過國外的中學優(yōu)秀教科書。

現(xiàn)在經常聽到的一個口號是“減負”，然而很多人覺得越減越重。其實看看統(tǒng)編教科書確實內容的量沒減小，在減掉一些內容的同時又悄悄加入了另一些內容。遺憾的是，減掉的多為精華，增加的卻全是垃圾。這也是統(tǒng)編教科書越來越令人覺得無聊的一個原因。當然，內容的選擇只是一個方面，寫作質量也很重要?，F(xiàn)在常見統(tǒng)編教科書中出現(xiàn)數學錯誤，這當然要誤人子弟的。

1960 年代，在華羅庚先生的倡導下，很多數學家為中學生寫課外讀物，出版了一套《數學小叢書》，有十余本。華羅庚先生身先士卒寫了兩本：第 1 號《從楊輝三角談起》和第 3 號《從祖沖之的圓周率談起》，后來又寫了《從孫子的“神奇妙算”談起》，此外還寫了一些別的小冊子，其中《數學歸納法》和《談談與蜂房結構有關的數學問題》后來也收入《數學小叢書》中。這些書的質量都是非常高的，是真正的精品，即使在今天也仍是極好的中學生讀物。遺憾的是現(xiàn)在讀這些書的人很少，連中學教師都很少有讀過的。

如果一個同學已經能夠自己獨立地學習數學，那么對于所讀的書要有所選擇，挑選自己覺得好的書。當然也可能選得不對，我自己就讀過一本看上去很有意思的書，但讀完后大失所望。我曾經對一個同學說：“你選讀的那本書質量很差，不值得讀?！蹦峭瑢W反問道：“我不讀怎么知道它很差呢？”你們覺得這個同學的話有道理嗎？我覺得很有道理，因為聽別人的評價不能代替自己的評價，自己判斷錯， 吃了虧，得到教訓，是成長的不可缺少的環(huán)節(jié)。

5 數學競賽

數學競賽是一種非常好的教育方法，它能激勵學生的數學興趣，發(fā)現(xiàn)人才，提高學生的素質，開闊學生的眼界。此外，它能建立數學界與青少年溝通的橋梁，吸引數學家對青少年人才培養(yǎng)的投入，吸引學術界和社會對于數學發(fā)展的關注等。

數學競賽是一種學術性很強的競賽，需要依靠數學家來組辦，尤其是命題。我參加過多種中、小學數學競賽的命題，深知這是難度很高而且非常辛苦的工作。

“華羅庚金杯”少年數學邀請賽的命題標準尤其高。為了一個題目，教授們要開討論班討論多次，而且絕大多數題目都不能通過。簡言之，數學競賽題的內容既要基于學生的課程內容，又不能落入俗套；既要有難度，又要簡單；既考驗智慧，又啟發(fā)新的智慧；既不能超出學生知識基礎的范圍，又要有高的深刻的觀點。

由此可以體會到當年華羅庚先生和其他數學家做競賽命題這件事有多辛苦。越是大的數學競賽越是需要數學家。反之，如果在舉辦數學競賽時排斥數學家，就是從根本上造假。

很多人跟我談“奧數”我都拒絕回應。什么是“奧數”？其本來的意思是國際數學奧林匹克競賽（IMO），但現(xiàn)在很多人所說的“奧數”與 IMO 毫無關系，只是打著“奧數”的牌子開培訓班和搞競賽。其中有些講究質量，但大多數只是將以往的數學競賽題用作培訓題或稍加改動用于競賽。我就經?？吹揭酝娜A杯賽題被反復使用，甚至盜版。

我國自 1950 年代華羅庚先生倡導數學競賽以來，數學競賽在推動科學技術發(fā)展和人才培養(yǎng)等方面作出了不可磨滅的貢獻。許多數學家參與數學競賽，關注中學教育，這些對我國的發(fā)展是非常寶貴的。

在座的同學們有很多參加過數學競賽。你們可以回顧一下，在競賽中做過的一個題目對你是不是新鮮的？是不是自然的？是不是有趣的？做了是不是有長進？做了以后是不是又曾用到？

6 用學習科學的方法

數學告訴我們科學的真理，它們深刻地揭露自然界的秘密，在這方面它與物理、化學、生命科學等是一樣的。我們來看幾個例子。

例 1. 勾股定理。直角三角形的兩直角邊長 a，b 與斜邊長 c滿足a2+b2=c2。

例 2. 圓的面積。直徑為 r 的圓的面積為 πr2。

例 3. 加法定理。

例 4. 代數基本定理。任何非常數復系數多項式必有一個復零點。

例 5. “費爾馬大定理”。設 n 為大于 2 的整數，則方程 xn+yn=zn 沒有非平凡的整數解。

這些真理的表述都非常簡單，使得人們很容易理解和應用。但是它們都不是簡單的常識或直觀上可以看到的事實。

常常很多人使用一個數學定理但不知道或不懂得它的證明，這沒有危險，因為數學家保證了定理的可靠性。但能使用并不等于掌握。這可能有潛在的問題。

數學中的深刻定理都是經過很多人的長期艱苦探索才發(fā)現(xiàn)和證明的，而基礎數學研究與理論物理類似，都屬于理論研究的范圍。

由此可見，數學是科學，所以學習數學應該用學習科學的方法，就是說要理解科學原理，直至完全懂得；而不是用例如學習技術或法規(guī)的方法。

數學的教育，絕不僅僅是一種知識的傳播，而更是包含能力的培養(yǎng)和理念的建立。

就以識數而言，豈是認識 1, 2, 3, 4, 5, ... 那樣簡單。首先，需要通過上面所說的“擁抱自然”，物理地理解數字符號的意義，這種理解還要通過以后所做的應用題進一步深化。進而要了解數的簡單性質，從而對于自然數數有更深入的理解，并且從中培養(yǎng)計算和應用等方面的能力。直到完成“我什么數都會數了”這一飛躍的時候，才算完成了識數的過程。

到這時候，一個人已經深刻地理解“數”是自然規(guī)律，對此已有堅定的信念，宇宙觀已有悄然的改變，對于所遇到的問題會自覺地從“數”的角度考慮，而且明顯地比不識數時更“聰明”了，這種“聰明”完全是后天的。

認識自然數的過程歸根結底是孩子自己完成的。如果孩子沒有興趣，即沒有認識自然數的欲望，無論如何灌輸也不能使他識數。

因此，“理解+記憶”的模式，對于數學教育是不適用的。

遺憾的是，很多數學教育幾乎就是用技術教育或法規(guī)教育的方法，甚至將數學當作教條。這樣的教育盡管可以使一個孩子學完所有的教程，如記數規(guī)定、運算法則、多種應用題型等等，而且通過達標考試，卻仍然沒有使他“學懂”數學。

不時地會遇到一個家長興奮地講自己的孩子的數學才能：很小就能認識數字，4 歲就會做 1 萬以內的加減法，背九九表，參加什么速算比賽獲獎，等等。然而，這很可能傷害了甚至毀掉了孩子學好數學的前途。

難免有人會反問：為什么一定要“學懂”數學呢？只要“會做”就可以通過考試了，達標了，將來也就可以工作了。然而，現(xiàn)在人工智能發(fā)展得很快，不管多聰明的人，與人工智能比速算，做選擇題，甚至做套路題，都將完全不是對手。有很多人由此斷言人將被電腦淘汰。然而，懂得數學的人不會被淘汰，因為人工智能無論做得多快多好，仍是只會“做”而不“懂”數學。

怎樣才叫“懂”數學呢？這里舉一個例子。

我在中科院和首都師大經常主持研究生面試，參加面試的都是筆試達標的。我們從不問難題，一般是問你有什么學得好的（有自信的），我們就從其中問個簡單問題看看考生是否學懂了。例如考生說群論學得好，就讓他舉個群的例子。這樣的“送分”題卻經常有人答不上來。

哪怕只是初步學懂，也不至于連一個簡單的例子都舉不出來呀。

同學們可以通過問自己這類簡單的問題，來反思自己是否真的學懂了。

 7 數學素質

在現(xiàn)代社會中，一個人一生中接受數學教育的時間是相當長的。

實際上，幼兒一般在很小的時候就開始接受數學教育。按我國現(xiàn)行的義務教育法，每個少年至少要上完初中，而接受數學教育也就要直到上完初中；很多地區(qū)已開始普及高中教育；而對于很多方面工作的需要，即使高中數學達標都還不夠，至少需要用到微積分。可以預料，我國公民一生中接受數學教育的平均時間，還會進一步增加。沒有任何一個其他學科的教育時間有數學這樣長。

雖然一個人需要學的數學這么多而且越來越難，但即使是一個小學生也可能有很好是數學素質，而中學生中有很多可以達到相當高的數學素質。一個人的數學素質的標志不是數學知識的多少，而是數學理念的高度。

小學階段培養(yǎng)數學素質的一個要點是可靠性。在做數學題的過程中，要求越來越嚴格，這是培養(yǎng)科學嚴謹性的第一步。如果一個小學生在解題過程中的錯誤都能夠自己發(fā)現(xiàn)和改正，就是解題非常可靠，在這一點上數學素質完全達標了。

中學階段對于數學素質有更多的要求，包括代數運算能力、空間想象力、邏輯性等，更高的要求是獨立探索解決問題的能力。

數學素質的提升主要是通過理念的提升來實現(xiàn)的。理念的提升，遠比技巧的提高重要。在理念的提升過程中，概念越來越抽象。抽象概念常常是具體概念的推廣或提升。在教學中一個常見的誤區(qū)是，先講抽象概念，再應用到具體情況，這樣符合邏輯次序，但對于學習可能并不合適，因為人的認識過程是從特殊到一般，從低到高，經常是從具體到抽象，就是說抽象的概念需要通過大量具體的例子才能理解。

最后再指出一點：數學的教育特別需要“因材施教”，對于同一個問題，不同的人很可能需要大不相同的學習過程。例如很多數學習題是沒有“標準答案”的，特別是證明題，在好的情況下甚至可能沒有兩個學生的答案完全相同，需要教師分別讀懂和判斷。就這一方面看，數學教育是很不容易也很辛苦的。

參考文獻

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[2] 姜樹生：可怕的幼兒數學教育（2011）

[3] 姜樹生：李克強總理關于數學的發(fā)言與社會反響（2015.4.）

[4] 姜樹生：現(xiàn)行統(tǒng)編中學數學教科書有多爛（2016.11.）

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[10] 其故：得數學者得天下（返樸公眾號 2019）

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1 華羅庚：從楊輝三角談起

2 段學復：對稱

3 華羅庚：從祖沖之的圓周率談起

4 吳文?。毫W在集合中的一些應用

5 史濟懷：平均

6 閔嗣鶴：格點和面積

7 姜伯駒：一筆畫和郵遞路線問題

8 龔昇：從劉徽割圓談起

9 范會國：幾種類型的極值問題

10 華羅庚：從孫子的“神奇妙算”談起

11 蔡宗熹：等周問題

12 江澤涵：多面形的歐拉定理和閉曲面的拓撲分類

13 常庚哲、伍潤生：復數與幾何

14 柯召、孫琦：單位分數

15 華羅庚：數學歸納法

16 華羅庚：談談與蜂房結構有關的數學問題

17 虞言林、虞琪：祖沖之算π之謎

18 馮克勤：費馬猜想

[13] 咸道：致家長

[14] 嚴士健主編：《面向 21 世紀的中國數學教育》. 江蘇教育出版社（1994）

[15] 尹裕：尋回美好的中學時代. 數學通報 2006 年第 1 期

[16] 尹裕：數學啟蒙教育之我見（2013）

[17] 張景中、王鵬遠：《小學數學實驗》

[18] 中國少年報社編：《華羅庚金杯少年數學邀請賽專輯》. 海燕出版社（1991）

作者簡介

李克正

代數幾何學家，首都師范大學特聘教授。曾任中科院研究生院數學系主任，中科院數學委員會委員，中科院重要方向項目首席科學家，《 中學生數學》雜志主編，《小學生數學報》等報刊編委，北京市高考命題委員。