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第四屆華杯賽決賽一試試題

1．在100以?xún)?nèi)與77互質(zhì)的所有奇數(shù)之和是多少？

2．圖1，圖2是兩個(gè)形狀、大小完全相同的大長(zhǎng)方形，在每個(gè)大長(zhǎng)方形內(nèi)放入四個(gè)如圖3所示的小長(zhǎng)方形，斜線(xiàn)區(qū)域是空下來(lái)的地方，已知大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多6cm，問(wèn)：圖1，圖2中畫(huà)斜線(xiàn)的區(qū)域的周長(zhǎng)哪個(gè)大？大多少？

3．這是一個(gè)道路圖，A處有一大群孩子，這群孩子向東或向北走，在從A開(kāi)始的每個(gè)路口，都有一半人向北走，另一半人向東走，如果先后有60個(gè)孩子到路口B，問(wèn)：先后共有多少個(gè)孩子到路口C？

4．表示一個(gè)四位數(shù)，
表示一個(gè)三位數(shù)，A，B，C，D，E，F，G代表1至9的不同的數(shù)字。已知，問(wèn)：乘積的最大與最小值差多少？

5．一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是1，最大的數(shù)是25，除1之外，這組數(shù)中的任一個(gè)數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個(gè)數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個(gè)數(shù)之和，問(wèn)：這組數(shù)之和最大值是多少？當(dāng)這組數(shù)之和有最小值時(shí)，這組數(shù)都有哪些數(shù)？并說(shuō)明和是最小值的理由。

6．一條大河有A、B兩個(gè)港口，水由A流向B，水流速度是4千米/小時(shí)。甲、乙兩船同時(shí)由A向B行駛，各自不停地在A、B之間往返航行，甲在靜水中的速度是28千米/小時(shí)，乙在靜水中速度是20千米/小時(shí)，已知兩船第二次迎面相遇地點(diǎn)與甲船第二次追上乙船（不算開(kāi)始時(shí)甲、乙在A處的那一次）的地點(diǎn)相距40千米，求A、B兩港口的距離。

1.和為1959

2.圖1中畫(huà)斜線(xiàn)區(qū)域的周長(zhǎng)比圖2中畫(huà)斜線(xiàn)區(qū)域的周長(zhǎng)大2AB=12cm

3.走過(guò)C的人數(shù)為48（人）

4.最大值與最小值的差是525000

5.最大值是80，最小值是61，且1+2+3+5+10+15+25=61

6.240千米

1.【解】設(shè)A為100以?xún)?nèi)所有奇數(shù)之和，B為100以?xún)?nèi)不與77互質(zhì)的全體奇數(shù)之和，X為100以?xún)?nèi)與77互質(zhì)的所有奇數(shù)之和,則 X＝A－B

顯然A＝1＋3＋5＋7＋…＋99＝*50*100＝2500

又77＝7*11

100以?xún)?nèi)有約數(shù)7的奇數(shù)之和為7*(1＋3＋5＋7＋9＋11＋13)＝*7*14＝343

100以?xún)?nèi)有約數(shù)11的奇數(shù)之和為 11*(1＋3＋5＋7＋9)＝*5*10＝275

所以B＝343＋275－77＝541

于是，所求之和為 X＝2500－541＝1959．

2.【解】圖1中畫(huà)陰影區(qū)域的周長(zhǎng)恰好等于大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，圖2中畫(huà)陰影區(qū)域的周長(zhǎng)顯然比大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)小，二者之差是2AB．

從圖2的豎直方向看，AB＝a－CD

再?gòu)膱D2的水平方向看，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是a＋2b，寬是2b＋CD。己知大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多6cm．所以

(a＋2b)－(2b＋CD)＝a－CD＝6(cm)，從而AB＝6(cm)

因此，圖1中畫(huà)斜線(xiàn)區(qū)域的周長(zhǎng)比圖2中畫(huà)斜線(xiàn)區(qū)域的周長(zhǎng)大 2AB＝12cm。

3.【解】在A處的孩子數(shù)目看成1份，那么可順次標(biāo)出各道口處走過(guò)的孩子的份數(shù)，

可見(jiàn)B處有，C處有。C處孩子總數(shù)是 60＋*＝48(人)

4.【解】

可以看出A＝1，因?yàn)镋≠0，1，所以B最大為7，這時(shí)E＝2由于D、G都不能是O，1，所以D＋G＝13，C＋F＝8由于F≠0，1，2，所以C最大為5。從而三位數(shù)最大為759，這時(shí)＝34。最小為234(這時(shí)＝759最大)。

＝(1000＋)*(993－)，

＝1000*993－1000*＋993*一*

＝993000－7*-－*

于是在最大時(shí)，乘積最小，最小時(shí)，乘積最大，因此，所求的差是

　(993000－7*234－234*234)－(993000－7*759－759*759)

＝7*(759－234)＋759*759－234*234

＝7*(759－234)＋(759＋234)*(759－234)

＝7*(759－234)＋993*(759－234)

＝1000*（759－234）

＝525000。

5.【解】數(shù)組1，2，3，5，10，15，25的和是61，我們證明61就是最小值。

首先25是組中兩個(gè)數(shù)a、b的和，不妨設(shè)a＞b，而除去1外，組中最小的數(shù)必定是2(否則這最小的數(shù)不是兩個(gè)數(shù)的和，也不是1的兩倍)。第三個(gè)小的數(shù)是3或4，在前一種情況，第四個(gè)小的數(shù)可能是4、5、6；在后一種情況，第四個(gè)小的數(shù)可能是5、6、8

如果b＞8，那么除去　1，2，3，4…b…a…25(1)

及　1，2，3，5…b…a…25(2)

另外，其它情況各數(shù)的和均大于61，而由于b＞8，前一種情況，至少要增加一個(gè)大于4的數(shù)，各數(shù)的和仍大于61，后一種情況，各數(shù)的和同樣會(huì)大于61，除非b＝10，相應(yīng)地a＝15，即上面所列舉的數(shù)為61的情況

如果b≤8，那么a≥17，為了將a表示成兩個(gè)數(shù)的和或一個(gè)數(shù)的兩倍，至少要有一個(gè)≥9的數(shù)，這樣各數(shù)的和≥1＋2＋3＋b＋9＋a＋25＝65＞61，因此只有數(shù)組1，2，3，5，10，15，25使和取得最小值61。

下面，討論和的最大值，如上所述，除去1外，組中最小的數(shù)必定是2，第三個(gè)小的數(shù)是3或4，在前一種情況，第四個(gè)小的數(shù)可能是4、5、6；在后一種情況，第四個(gè)小的數(shù)可能是5、6、8。要使和最大，次大的數(shù)可取24，從而數(shù)組1，2，4，8，16，24，25的和是80，應(yīng)為和的最大值。

6.【解】設(shè)A、B兩個(gè)港口相距S千米，甲、乙兩船第二次迎面相遇時(shí)的位置與港口A相距x千米，甲船第二次追上乙船時(shí)的位置與港口A相距y千米。

第一步先求x，甲、乙第二次迎面相遇，甲順?biāo)?S＋x)千米，逆水行S千米，乙順?biāo)蠸千米，逆水行(S－x)千米，甲順?biāo)俣?2(＝28＋4)千米／小時(shí)，逆水速度24(＝28－4)千米／小時(shí)；乙順?biāo)俣?4(＝20＋4)千米／小時(shí)，逆水速度16(＝20－4)千米／小時(shí)，兩船所用時(shí)間相等，所以

32。24 24。16

即　S十x＝2(S－x)

解得x＝S

第二步求y．如果甲船在逆水時(shí)第二次追上乙，那么乙船順?biāo)衝S千米(n為自然數(shù))，逆水行(nS－y)千米，甲船順?biāo)?nS＋2S)千米，逆水行(nS＋2S－y)千米，并且

即　

去分母(兩邊同乘96)得　(3n－14)S＝2y

由于左邊是S的整數(shù)倍，右邊y＜S，所以必有y＝

如果甲船在順?biāo)畷r(shí)第二次追上乙，那么乙船順?biāo)?nS＋y)千米，逆水行nS千米，甲船順?biāo)?nS＋2S＋y)千米，逆水行(nS＋2S)千米，并且

化簡(jiǎn)得　y＝(14－3n)S(1)

由于14除以3余2，所以(14－3n)≥2S．而

≤

S，從而(1)不能成立

因此，y＝

第三步求S

由－＝40得

S＝40/(－)＝240(千米)

答：兩港相距240千米。

第四屆華杯賽決賽二試試題

1. 互為反序的兩個(gè)自然數(shù)的積是92565，求這兩個(gè)互為反序的自然數(shù)。(例如102和201；35和53，11和11，…稱(chēng)為互為反序的數(shù)，但120和21不是互為反序的數(shù))

2．某工廠(chǎng)的一個(gè)生產(chǎn)小組，生產(chǎn)一批零件，當(dāng)每個(gè)工人在自己原崗位工作時(shí)，9小時(shí)可完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)。如果交換工作A和B的工作崗位，其它工人生產(chǎn)效率不變時(shí)，可提前一小時(shí)完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)；如果交換工人C和D的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變時(shí)，也可以提前一小時(shí)完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)。問(wèn)：如果同時(shí)交換A與B，C與D的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變，可以提前幾分鐘完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)？

3．某校學(xué)生中，沒(méi)有一個(gè)學(xué)生讀過(guò)學(xué)校圖書(shū)館的所有圖書(shū)，又知道圖書(shū)館內(nèi)任何兩本書(shū)至少被一個(gè)同學(xué)都讀過(guò)，問(wèn)：能不能找到兩個(gè)學(xué)生甲、乙和三本書(shū)A、B、C，甲讀過(guò)A、B，沒(méi)讀過(guò)C，乙讀過(guò)B、C，沒(méi)讀過(guò)A？說(shuō)明判斷過(guò)程。

4．有6個(gè)棱長(zhǎng)分別是3cm，4cm，5cm， 的相同的長(zhǎng)方體，把它們的某些面染上紅色，使得有的長(zhǎng)方體只有一個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有兩個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有三個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體 恰有四個(gè)面是紅色的，有的長(zhǎng)方體恰有五個(gè)面是紅色的，還有一個(gè)長(zhǎng)方體六個(gè)面都是紅色的，染色后把所有的長(zhǎng)方體分割成棱長(zhǎng)為1cm的小正方體，分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體最多有幾個(gè)？

5．小華玩某種游戲，每局可隨意玩若干次，每次得分是8，a（自然數(shù)），0這三個(gè)數(shù)中的一個(gè)，每局各次得分的總和叫做這一局的總積分，小華曾得到過(guò)這樣的總積分：103，104，105，106，107，108，109，110，又知道他不可能得到“83分”這個(gè)總積分。問(wèn)：a是多少？

6．在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處分別標(biāo)上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每條棱兩端所標(biāo)的兩個(gè)數(shù)之和寫(xiě)在這條棱的中點(diǎn)，問(wèn)各棱中點(diǎn)所寫(xiě)的數(shù)是否可能恰有五種不同數(shù)值？各棱中點(diǎn)所寫(xiě)的數(shù)是否可能恰有四種不同數(shù)值？如果可能，對(duì)照?qǐng)Da在圖b的表中填上正確的數(shù)字；如果不可能，說(shuō)明理由。

1.這兩個(gè)數(shù)是165和561

2.可提前108分鐘

3.可以找到滿(mǎn)足要求的兩個(gè)學(xué)生

4.最多可得到177個(gè)一面為紅色的小立方體

5.A=13

6.各棱中點(diǎn)處所寫(xiě)的數(shù)恰有五種不同數(shù)值是可能的，填法不惟一，但不可能少于五種不同數(shù)值

1.【解】

92565＝3×3×5×11×11×17.

互為反序的兩個(gè)自然數(shù)中，若其中之一為3的倍數(shù)(或11的倍數(shù))，另一個(gè)也必為3的倍數(shù)(或11的倍數(shù)).又因乘積是五位數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)是三位數(shù)，我們有

92565＝(3×5×11)×(3×17×11)＝165×561

　于是,這兩個(gè)數(shù)為165和561

2.【解】把總?cè)蝿?wù)分成72份，原來(lái)每小時(shí)完成＝8份，每份要＝7.5分鐘

　A與B交換后，每小時(shí)完成＝9份，比原來(lái)多干了1份，由于其他人工效不變，

　所以這一份就是A、B二人多干的。

同理，C與D交換后，他們二人每小時(shí)也要多干1份任務(wù)。同時(shí)更換后,A與B、C與D每小時(shí)都多干一份任務(wù)，所以全組工人每小時(shí)干了8＋1＋1＝10(份)任務(wù)，即每份任務(wù)只要＝6(分鐘)就能干完。因此每干1份任務(wù)，提前7.5－6＝1.5(分鐘)。72份任務(wù)一共提前請(qǐng)點(diǎn)擊此處輸入圖片描述

72×1.5

＝108(分鐘)。

3.【解】首先從讀書(shū)數(shù)最多的學(xué)生中找一人甲，由題設(shè)，甲至少有一本書(shū)C未讀過(guò)。

設(shè)B是甲讀過(guò)的書(shū)中的一本，根據(jù)題設(shè)，可找到學(xué)生乙，乙讀過(guò)B、C。

由于甲是讀書(shū)數(shù)最多的學(xué)生之一，乙讀書(shū)數(shù)不能超過(guò)甲的讀書(shū)數(shù)，而乙讀過(guò)C書(shū)，甲未讀過(guò)C書(shū)，所以甲一定讀過(guò)一本書(shū)A，乙沒(méi)讀過(guò)A書(shū)，否則乙就比甲至少多讀過(guò)一本書(shū)，這樣一來(lái)，甲讀過(guò)A、B，未讀過(guò)C；乙讀過(guò)B、C耒讀過(guò)A。因此可以找到滿(mǎn)足要求的兩個(gè)學(xué)生。

4.【解】一面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將4*5的長(zhǎng)方形染紅，這時(shí)產(chǎn)生20個(gè)一面紅的小正方體，個(gè)數(shù)最多

二面染紅的長(zhǎng)方體，顯然應(yīng)將兩個(gè)4*5的長(zhǎng)方形染紅，這時(shí)產(chǎn)生40個(gè)一面紅的小正方體，個(gè)數(shù)最多三面染紅的長(zhǎng)方體，應(yīng)將4*5，4*5，4*3的面染紅，產(chǎn)生4*(5＋5＋3－4)＝36個(gè)一面紅的小正方體，其它方法得出的一面紅的正方體均少于36個(gè)。四面染紅的長(zhǎng)方體，應(yīng)將4*5，4*5，4*3，4*3的面染紅，產(chǎn)生4*(5＋5＋3＋3－2*4)＝32個(gè)一面紅的小正方體，其它方法得到的一面紅的小正方體均沒(méi)有這么多五面染缸的長(zhǎng)方體，應(yīng)只留一個(gè)3×5的面不染，這時(shí)產(chǎn)生(3－2)(5－2)＋(4－1)(5＋5＋3＋3－2*4)＝27個(gè)一面紅的小正方體，其它染法得到的一面紅的小正方體均少于27六面染紅的長(zhǎng)方體，產(chǎn)生 2[(3－2)(5－2)＋(5－2)(4－2)＋(4－2)(3－2)]＝22 個(gè)一面紅的小正方體。于是最多得到 22＋27＋32＋36＋40＋20＝177 個(gè)一面紅的小正方體

5.【解】83＋8*3＝107，所以在得到總積分107時(shí)，得8分的局?jǐn)?shù)必定小于3(否則83＝107－3*8可以得到)，即得8分的局?jǐn)?shù)為0、1或2，從而107，107－1*8＝99，107－2*8＝91這三個(gè)數(shù)中必有一個(gè)是a的倍數(shù)。

如果107是a的倍數(shù)，那么a＝1或107，但a＝1時(shí)，可以得到總積分83；a＝107時(shí)，無(wú)法得到總積分103，所以這種情況不可能發(fā)生。

如果99是a的倍數(shù)，那么a＝1，3，9，11，33，99。

因?yàn)?3＝9*3＋8*7＝11＋8*9，所以a不能是1，3，9，11(否則83可以得到)。

因?yàn)?03＝99＋14＝33＋70＝2*33＋37，所以a＝99或33時(shí)，無(wú)法得到總分103。

因此這種情況也不可能發(fā)生。

如果91是a的倍數(shù)，那么a＝1，7，13，91，因?yàn)?3＝7*5＋8*6，所以a

≠

7.1 103＝91＋12，所以a

≠

91。

因此a＝13，不難驗(yàn)證a＝13符合要求。

6.【解】各棱中點(diǎn)處所寫(xiě)的數(shù)恰有五種不同數(shù)值是可能的，如在A、B、…、H依次填1,5、3、7、8、4、6、2，則中點(diǎn)處恰有五個(gè)不同數(shù)值6、8、9、10、12。

不可能少于五種不同數(shù)值，理由如下：

以1所在頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱有三條，不妨設(shè)這三條棱的另一端點(diǎn)所填寫(xiě)的數(shù)是a、b、c，滿(mǎn)足a＜b＜c，則這三條棱的中點(diǎn)處的數(shù)為1＋a，1＋b和1＋c，滿(mǎn)足1＋a＜1＋b＜1＋c。

以8所在頂點(diǎn)為端點(diǎn)的棱也有三條，不妨設(shè)這三條棱另一端點(diǎn)所填寫(xiě)的數(shù)為x、y、2，滿(mǎn)足x＜y＜z，則這三條棱的中點(diǎn)處的數(shù)為8＋x，8＋y，8＋z，滿(mǎn)足8＋x＜8＋y＜8＋z。

又 c≤8，1＋c≤9；x≥1，8＋x≥9，

所以 1＋a<1＋b<1＋c≤8＋x＜8＋y＜8＋z

從而這六條棱中點(diǎn)的六個(gè)數(shù)不可能少于五種不同的值，因此在12條棱中的點(diǎn)處所寫(xiě)的數(shù)不可能有少于五種不同的數(shù)值。

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