點(diǎn)擊領(lǐng)取>>>YMO世界青少年奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽決賽試卷題

一、選擇題.（每題 4 分，共 40 分）?

1、在所有的質(zhì)數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)（ ? ）。

A. 只有一個(gè)

B. 有兩個(gè)

C. 有三個(gè)

D. 有無(wú)數(shù)個(gè)

?

「答案解析」

2既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，特別要注意2的特殊性，在和質(zhì)數(shù)相關(guān)的題目中，很多都和2相關(guān)。

選A。

?

2、?的分母加上9，要使分?jǐn)?shù)的大小不變，分子應(yīng)加上（ ? ）。

A. 9

B. 7

C. 14

D. 21

?

「答案解析」

不用真的去算，分母擴(kuò)大了3倍，那分子也擴(kuò)大3倍即可，因此，分子要加上21。

選D。

?

3、等邊三角形形有（ ? ）條對(duì)稱軸.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

?

「答案解析」

每條邊上的高所在的直線就是對(duì)稱軸。

選C。

?

4、a 與 b 是互質(zhì)數(shù)，它們的最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的（ ? ）倍。

A. 1

B. a

C. b

D. ab

?

「答案解析」

兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)就是ab。

選D。

?

5、一個(gè)三角形，三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為，則此三角形為（ ? ）三角形。

A. 銳角

B. 直角

C. 鈍角

D. 無(wú)法確定

?

「答案解析」

注意到，因此有一個(gè)角比直角大。

選C。

?

6、在一個(gè)正方形里面畫一個(gè)最大的圓，圓的面積是正方形面積的（ ? ）。

A. ?

B. ?

C. ?

D. ?

?

「答案解析」

設(shè)圓的半徑為1，則其面積為，則滿足題意的正方形的邊長(zhǎng)為2，則其面積為4。

因此，選D。

?

7、 用兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和來(lái)表示 100 有許多種方法，在這些方法中，兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積最大是（ ?）。

A. 2491

B. 2499

C. 2500

D. 2419

?

「答案解析」

兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是100，要想讓其質(zhì)數(shù)的乘積最大，則這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的差要盡可能小。

因此，一個(gè)質(zhì)數(shù)要大于50，另一個(gè)質(zhì)數(shù)要小于50，在腦袋里遍歷下質(zhì)數(shù)表，滿足要求的兩個(gè)質(zhì)數(shù)就是53和47，其乘積為2491。

選A。

?

8、 定義?（），在?、、、...、中劃去一個(gè)，剩余的數(shù)的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，劃掉的是（ ? ）。

A. 24！或 25！

B. 25！

C. 26！

D. 25！或 26!

?

「答案解析」

在?、、、...、??這50個(gè)階乘的乘積中，1乘了50次，2乘了49次，3乘了48次，依此類推，可以發(fā)現(xiàn)任意一個(gè)奇數(shù)的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)個(gè)，任意一個(gè)偶數(shù)的個(gè)數(shù)都是奇數(shù)個(gè)。

我們知道，某一個(gè)數(shù)乘以偶數(shù)次，其積一定是個(gè)平方數(shù)。

我們記：

其實(shí)等價(jià)于：

我們先將偶數(shù)次方全寫在一起，：

可以判定，此道題出錯(cuò)了，劃掉一個(gè)是不可能的。

因?yàn)?5是一個(gè)平方數(shù)，正確答案應(yīng)該是劃掉和，或者劃掉和。

因此，猜測(cè)出題者的本意是劃掉或者，但考慮不周，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。

如果非要選，就選A這個(gè)錯(cuò)誤答案。

?

9、 任意連續(xù) n 個(gè)非 0 自然數(shù)，有（ ）個(gè)是 n 的倍數(shù)。

A. 0

B. 1

C. 1 或 2

D. 不確定

?

「答案解析」

連續(xù)n個(gè)非0自然數(shù)，那這個(gè)，那么我們舉些特例，譬如，或者，可以看到，每組里只有一個(gè)是4的倍數(shù)。

選B。

?

10、 一個(gè)大正方體，切割成 n 個(gè)小正方體后，表面積增加了 4 倍，則 n 是（ ）。

A. 27

B. 64

C. 125

D. 216

?

「答案解析」

因?yàn)榇罅⒎襟w均分成形狀一樣的小立方體，其數(shù)量肯定是一個(gè)立方數(shù)。

為了計(jì)算簡(jiǎn)單些，我們將題目改下，假設(shè)是切割成個(gè)小正方體。

設(shè)小正方體的變成為1，那每個(gè)小正方體的表面積就是6，所有小正方體的表面積為。

那么，大正方體的邊長(zhǎng)為，則其表面積為。

因此，有：

也就是：

所以，，那。

如果不用方程的思維，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，我們一定要明白，切割后的表面積變成了原來(lái)的n倍，但卻只是增加了4倍，那么。

再變換回去，那么就選C。

二、填空題（每題 4 分，共 60 分）?

1、 分母不大于60，并且分子小于?6?的的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有（ ）個(gè)。

?

「答案解析」

這種題目用分類匯總法來(lái)計(jì)算。

不大于60，是包括60的。

當(dāng)分子為1的時(shí)候，分母可以從2到60，共有59種最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)。

當(dāng)分子為2的時(shí)候，我們?nèi)サ?0以內(nèi)的偶數(shù)和1，共有29種最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)。

當(dāng)分子為3的時(shí)候，3的倍數(shù)共有20個(gè)，最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有?個(gè)。

當(dāng)分子為4的時(shí)候，由于是求最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那分母肯定不能是偶數(shù)，最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有個(gè)

當(dāng)分子為5的時(shí)候，5的倍數(shù)共有12個(gè)，最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有個(gè)。

因此，滿足條件的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有個(gè)。

此類題目很容易通過(guò)程序去驗(yàn)證：

#include?<iostream>
using?namespace?std;

//輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因數(shù)
int?gcd(int?m,int?n){
?if(n==0)return?m;
?else?return?gcd(n,m%n);
}

int?main(){
?int?a,b,num=0,c;
?
?
?for(a=1;a<6;a++){
??c=0;
??for(b=a+1;b<61;b++){
???if(a==1||gcd(a,b)==1){
????cout<<a<<"/"<<b<<"?";
????if((c+1)%10==0)cout<<endl;
????????????????c++;
???}
??}
??cout<<endl<<"分子為"<<a<<"的真分?jǐn)?shù)有"<<c<<"個(gè)。"<<endl<<endl;
??num+=c;
?}
?
?cout<<?"滿足條件的真分?jǐn)?shù)一共有"<<num<<"個(gè)。";
?return?0;
}

輸出如下：

1/2?1/3?1/4?1/5?1/6?1/7?1/8?1/9?1/10?1/11
1/12?1/13?1/14?1/15?1/16?1/17?1/18?1/19?1/20?1/21
1/22?1/23?1/24?1/25?1/26?1/27?1/28?1/29?1/30?1/31
1/32?1/33?1/34?1/35?1/36?1/37?1/38?1/39?1/40?1/41
1/42?1/43?1/44?1/45?1/46?1/47?1/48?1/49?1/50?1/51
1/52?1/53?1/54?1/55?1/56?1/57?1/58?1/59?1/60
分子為1的真分?jǐn)?shù)有59個(gè)。
????
2/3?2/5?2/7?2/9?2/11?2/13?2/15?2/17?2/19?2/21
2/23?2/25?2/27?2/29?2/31?2/33?2/35?2/37?2/39?2/41
2/43?2/45?2/47?2/49?2/51?2/53?2/55?2/57?2/59
分子為2的真分?jǐn)?shù)有29個(gè)。
????
3/4?3/5?3/7?3/8?3/10?3/11?3/13?3/14?3/16?3/17
3/19?3/20?3/22?3/23?3/25?3/26?3/28?3/29?3/31?3/32
3/34?3/35?3/37?3/38?3/40?3/41?3/43?3/44?3/46?3/47
3/49?3/50?3/52?3/53?3/55?3/56?3/58?3/59
分子為3的真分?jǐn)?shù)有38個(gè)。
????
4/5?4/7?4/9?4/11?4/13?4/15?4/17?4/19?4/21?4/23
4/25?4/27?4/29?4/31?4/33?4/35?4/37?4/39?4/41?4/43
4/45?4/47?4/49?4/51?4/53?4/55?4/57?4/59
分子為4的真分?jǐn)?shù)有28個(gè)。
????
5/6?5/7?5/8?5/9?5/11?5/12?5/13?5/14?5/16?5/17
5/18?5/19?5/21?5/22?5/23?5/24?5/26?5/27?5/28?5/29
5/31?5/32?5/33?5/34?5/36?5/37?5/38?5/39?5/41?5/42
5/43?5/44?5/46?5/47?5/48?5/49?5/51?5/52?5/53?5/54
5/56?5/57?5/58?5/59
分子為5的真分?jǐn)?shù)有44個(gè)。
????
滿足條件的真分?jǐn)?shù)一共有198個(gè)。
?

2、 有若干人去打獵，平均?6?人獵得?5?只野兔，15?人獵得?2?只鹿，10?人獵得?1?只野豬，結(jié)果最后每人分得一只獵物，還剩?4?只獵物。參加打獵的有（ ）人。

?

「答案解析」

不知道怎么做，那就只好設(shè)未知數(shù)了。

假設(shè)有x人，則有如下方程：

也就是：

解得

?

3、?YMO?數(shù)學(xué)競(jìng)賽，滿分是?100?分，某小組的?8?位同學(xué)的得分都是整數(shù)，并且互不相同。已知這?8?位同學(xué)的平均分是?91?分，其中一位同學(xué)僅得?74?分，那么排在第五名的同學(xué)至少得（ ?）分。

?

「答案解析」

小組8人的總分是

去掉得分為74的同學(xué)，則其他七人的總分為：

其余7人的平均分為：

按題目的意思，要求排名第五的同學(xué)得分的最小值，那前面排名前四的同學(xué)的得分必須盡可能高，而且各不相同。

那么，我們假設(shè)前四名的得分和是：

那剩下的三人的得分必須達(dá)到：

因此，這三人得分的平均數(shù)是：

那么，要想第五名得分最小，那么此三人的分?jǐn)?shù)必須盡可能接近，那么只能是：

因此，排名第五的同學(xué)得分至少是分。

我們反過(guò)來(lái)驗(yàn)證一下，只要前四名的同學(xué)得分小于分，那么排名第五的得分就會(huì)超過(guò)分。

?

4、 李叔叔從果園摘了?30個(gè)蘋果，按大小分成一等品?10?個(gè)，二等品?20?個(gè)。后來(lái)將一等品中最小的?3?個(gè)調(diào)整為二等品，這樣使二等品蘋果的平均質(zhì)量提高了?20?克，一等品蘋果的平均質(zhì)量提高了?8?克。那么原來(lái)一等品蘋果的平均質(zhì)量比二等品的平均質(zhì)量多（ ）克。

?

「答案解析」

此類問(wèn)題，想不明白就可以畫個(gè)圖來(lái)幫助我們想。

可以看到，將3個(gè)最小的一等品放到二等品中，二等品平均質(zhì)量提升了20克，那么，提升的總質(zhì)量就是：

也就是說(shuō)，這400克是從3個(gè)最小的一等品里勻出來(lái)分給其他20個(gè)二等品的。

同時(shí)，拿掉3個(gè)最小的一等品，一等品的平均質(zhì)量提升了8克，這句話的意思是，加入三個(gè)較小的一等品，原來(lái)7個(gè)一等品的質(zhì)量平均下降了8克，那么7個(gè)一等品下降的總質(zhì)量是：

也就是說(shuō)，這56克是從7個(gè)一等品中勻出來(lái)分給這3個(gè)較小的一等品的。

因此，一等品原有的平均值比二等品新的平均值高出的質(zhì)量為：

因此，原有一等品的均值比原有二等品均值高出的質(zhì)量為：

?

5、 兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積是?3599，那么這兩個(gè)奇數(shù)的和是（ ）。

?

「答案解析」

此類題目我們可以設(shè)未知數(shù)，

也可以分解質(zhì)因數(shù)，但這個(gè)數(shù)比較大，如果嘗試了幾個(gè)質(zhì)數(shù)還不行就建議放棄。

如果設(shè)未知數(shù)，那么我們分別設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為和，

那么就有：

利用平方差公式去掉括號(hào)，如果不會(huì)平方差的話，我們就老老實(shí)實(shí)地展開計(jì)算，可以得到：

也就是：

因此，

這兩個(gè)奇數(shù)的和就是

其實(shí)，這道題我們也可從末位數(shù)的特征入手，連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)相乘末位是9，那么這兩個(gè)奇數(shù)的末位數(shù)必須是9和1了，然后連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)的乘積又接近于一個(gè)平方數(shù)，那么這個(gè)平方數(shù)只能是3600了。

?

6、 如果?6?位數(shù)20□□20能被?105?整除，那么這個(gè)?6?位數(shù)最大是（ ）。

?

「答案解析」

由于

所以，該數(shù)必須是3的倍數(shù)，也是7的倍數(shù)，由于末尾是0，也必然是5的倍數(shù)。

其實(shí)我們可以根據(jù)質(zhì)數(shù)的特征來(lái)嘗試下，在判斷是7的倍數(shù)時(shí)，我們可以采取三位截?cái)喾?，奇偶段相減的方法來(lái)判斷。但該數(shù)比較大，計(jì)算的時(shí)候也不太方便。

所以，我們可以先假設(shè)中間的兩位數(shù)為，那么：

也就是

同理，

也就是：

現(xiàn)在就柳暗花明了，必有：

所以：

由于是一個(gè)最大的兩位數(shù)，我們?nèi)?，此時(shí)。

?

7、 如果一個(gè)自然數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，我們稱這個(gè)自然數(shù)為“YMO?數(shù)”。那么，小于?1000?的最大的“YMO?數(shù)”是（ ）。

?

「答案解析」

一個(gè)數(shù)如果能分解質(zhì)因數(shù)，那么必然能分解成的形式，此時(shí)就有兩個(gè)因數(shù)，如果還能繼續(xù)分解，那么因數(shù)的個(gè)數(shù)似乎總會(huì)是偶數(shù)個(gè)。

什么情況下，因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)呢？

很明顯，當(dāng)一個(gè)數(shù)是平方數(shù)的時(shí)候，無(wú)論進(jìn)行多少次分解，總會(huì)出現(xiàn)，此時(shí)只能算一個(gè)因數(shù)。因此，平方數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)總是奇數(shù)。

那么，1000以內(nèi)的平方數(shù)，最大的就是。

?

8、 用?1?至?9?這?9?個(gè)數(shù)字各一次，組成一個(gè)兩位完全平方數(shù)，一個(gè)三位完全平方數(shù)，一個(gè)四位完全平方數(shù)。那么，其中的四位完全平方數(shù)最小是（ ）。

?

「答案解析」

看到這樣的題目，是不是有無(wú)從下手的感覺呢？

既然要求四位的完全平方數(shù)最小，我們先大膽地猜測(cè)下這樣的四位數(shù)的千位是1。

那么，2000以內(nèi)的完全平方數(shù)有哪些呢？由于，那么應(yīng)該是從到吧？

我們先將這些平方數(shù)全部列出來(lái)，考慮到數(shù)字的不可重復(fù)，也不能包含0，

那么，我們可以拿到的滿足要求的四位平方數(shù)有：

（1）我們先考慮1296，那么剩下的五個(gè)數(shù)字是：

我們注意到平方數(shù)的末位數(shù)只能是：

那么，在剩下的五個(gè)數(shù)字中，滿足條件的兩位數(shù)25和64都不存在。

（2）我們?cè)倏紤]1369，那么剩下的五個(gè)數(shù)字是：

考慮到平方數(shù)的末尾特征，那么兩位平方數(shù)只能是25，那剩下的874或784會(huì)是平方數(shù)嗎？

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，我們確認(rèn)

因此，滿足要求的最小的四位平方數(shù)是1369。

這樣也比較幸運(yùn)，幸好1開頭的四位數(shù)有滿足要求的，否則下一輪從2開頭的四位數(shù)繼續(xù)算。

我們也可以編寫程序來(lái)列舉滿足要求的平方數(shù)，代碼如下：

#!/usr/bin/env?python

two=[x*x?for?x?in?range(4,10)]
three=[x*x?for?x?in?range(11,32)]
four=[x*x?for?x?in?range(33,100)]

for?i?in?two:
????for?j?in?three:
????????for?k?in?four:
????????????a=[]
????????????n=[i,j,k]
????????????for?x?in?n:
????????????????for?t?in?range(4):
????????????????????g=x//pow(10,t)%10
????????????????????if?g>0?and?g?not?in?a:
????????????????????????a.append(g)
????????????
????????????if?len(a)==9:
????????????????print(i,j,k)

可以找到滿足要求的數(shù)有：

16?784?5329
25?784?1369
25?784?1936
25?841?7396
36?729?5184
81?324?7569
81?576?3249
81?729?4356
?

9、 s=?，求s。

?

「答案解析」

每項(xiàng)分?jǐn)?shù)都很有規(guī)律，可以通過(guò)裂項(xiàng)求和法來(lái)做。

所以：

消去相鄰項(xiàng)目，得到：

?

10、 張、王、李三戶人家打算訂閱報(bào)紙，共有?8?種不同的報(bào)紙可供選擇，已知每戶人家都訂三份不同的報(bào)紙，并且知道這三戶人家每?jī)蓱羲喌膱?bào)紙都恰好有一份相同，那么三戶人家共有（ ? ）種不同的訂閱方式。

?

「答案解析」

此類排列組合題還是比較麻煩的，麻煩就在于要考慮到多種可能性，然后再匯總。

記得排列組合應(yīng)該是高中才學(xué)的內(nèi)容吧，怎么跑到小學(xué)的競(jìng)賽里來(lái)了？

（1）我們先考慮第一種情況。三戶人家挑選的報(bào)紙，有一種是相同的。

那么這份共同訂閱的報(bào)紙是從8種里選一種，那就有種選法，張家從剩下的7種里挑2種，就是，王家從剩下的5種里挑2種，就是，李家從剩下的3種里挑2種，就是，不同的訂閱方式就是：

（2）我們?cè)倏紤]第二種情況。用不同的字母代表一種報(bào)紙，那這種情況可以描述成，那兩兩相同的報(bào)紙只有三種，需要從8種報(bào)紙里任取3種，這是一個(gè)排列問(wèn)題，然后從所挑出的3個(gè)里再無(wú)序選擇2個(gè)，這是一個(gè)組合問(wèn)題，最后剩下的，又是一個(gè)排列問(wèn)題，需要再?gòu)氖Ｏ碌?種里任取3種。

因此，三戶人家共有：

種訂閱方式。

?

11、 如下圖，直角三角形?ABC?中，BC=18，AC=24，將?AC?對(duì)折到斜邊?AC?上，使?AC?與?AD?重合，則三角形 BDE 的面積是（ ? ）。

?

「答案解析」

難道小學(xué)就要用勾股定理或者三角形相似了嗎？

很多小朋友雖然沒學(xué)過(guò)勾股定理，但一定聽說(shuō)過(guò)直角三角形里的"勾三股四弦五"的事情吧。

可以看到，直角三角形的一個(gè)直角邊是6個(gè)勾三，另一個(gè)直角邊是6個(gè)股四，那斜邊就是6個(gè)弦五，斜邊AB的長(zhǎng)度也就是30。

我們?cè)O(shè)CE的長(zhǎng)度為a，BD的長(zhǎng)度為b，那么DE的長(zhǎng)度也是a，AD的長(zhǎng)度為24，線段DE垂直于線段AB于點(diǎn)D。

因此，b就等于：

根據(jù)面積關(guān)系，有：

也就是：

從而解得。

或者根據(jù)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊的比例是相等的，有：

也可以解得和。

從而可得陰影部分的面積為

?

12、 在下面的算式中，不同漢字代表 0-9 不同的數(shù)字。如果“學(xué)=5”，那么“素質(zhì)賽”是（ ）。

青少年素質(zhì)賽品學(xué)兼優(yōu)?

「答案解析」

先將2020分解下質(zhì)因數(shù)，可以看到：

由于漢字代表的是不同的數(shù)字，所以"素質(zhì)賽"不可能是101及其倍數(shù)。

所以：

品學(xué)兼優(yōu)

既然"學(xué)"是5，那么"優(yōu)"就是6。

因此，"品"和"兼"要么是2和7，要么是1和8，不能是0和9。

我們先考慮第一種情況，"品"和"兼"是2和7，

那么，我們就要從0、1、3、4、8、9中挑出數(shù)來(lái)，滿足：

青少年素質(zhì)賽

很明顯，"青"不能是0，"年"也不能是0，那么，只能"賽"是0，

素質(zhì)少年青

通過(guò)觀察，

等"青"等于1的時(shí)候，"素質(zhì)"可以是38，"少年"可以是19，沖突。

當(dāng)"青"等于4的時(shí)候，"少年"等于38，"素質(zhì)"等于19，此時(shí)滿足要求。

也就是：

成立。

因此，"素質(zhì)賽"可以是190。

我們?cè)倏紤]第二種情況，"品"和"兼"是1和8，同理，"賽"只能是0，

那么，我們就要從2、3、4、7、9中挑出數(shù)來(lái)，滿足：

素質(zhì)少年青

很明顯，當(dāng)"青"等于2或4時(shí)，無(wú)解，其他情況更不可能。

?

13、 如下圖，正六邊形面積為?18?平方厘米，那么陰影部分面積是（ ）平方 厘米。

?

「答案解析」

要想算出來(lái)，也得用到初中的數(shù)學(xué)知識(shí)，只是正六邊形的邊長(zhǎng)為，這個(gè)不大好計(jì)算。

不過(guò)在這里是填空題，我們可以投機(jī)取下巧。

如下圖所示，我們將其他的輔助線都加上，可以看到該圖形對(duì)稱軸很多，基于中心點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，基本上都是可以重疊的。

因此，正六邊形被均勻分成6個(gè)全等的等邊三角形，每個(gè)的面積為。

同時(shí)，等腰三角形等幾個(gè)三角形，每個(gè)的面積也為3。

同時(shí)，線段BD被點(diǎn)N和I三等分，線段CE、AE和BF也一樣，

因此，，

所以，陰影部分的面積就是。

?

14、 如下圖，在三角形?ABC?中，點(diǎn)?D?是?AC?的中點(diǎn)，點(diǎn)?E、F?是?BC?的三等分點(diǎn)， 若三角形?ABC?的面積是?60?平方厘米，則四邊形?CDMF?的面積是（ ? ）平方厘米。

?

「答案解析」

我們首先重畫下示意圖，連接CM，連接EM。

將三角形ADM的面積標(biāo)注為S1，將三角形CDM的面積標(biāo)注為S3，將三角形CDM的面積標(biāo)注為S2。

從而有如下關(guān)系：

從而可以解得：

從而，四邊形CDMF的面積就是：

初中如果學(xué)了梅涅勞斯定理，或者做平行線，也可以比較輕松地解答出來(lái)。

這里我們先用梅涅勞斯定理來(lái)求下線段之間的比例關(guān)系，得到這些比例關(guān)系后，三角形的面積關(guān)系也就可以輕易地求出來(lái)。

直線BD穿過(guò)三角形AFC，分別于三條邊相交于B、M、D三點(diǎn)，有：

因此，可以得到：

所以：

又因?yàn)椋?/p>

所以，，。

所以，，

所以，。

同理，再應(yīng)用一遍梅氏定理，可以得到，從而可以將其他四塊區(qū)域的面積都求出來(lái)。

譬如：，，，。

?

15、小明騎自行車從甲地到乙地，要先騎一段上坡路，再騎一段平坦路。他到乙地后， 立即返回甲地，來(lái)回共用了?3?小時(shí)。小明在平坦路上比上坡路每小時(shí)多騎?10?千米，下坡路比平坦路每小時(shí)多騎?5?千米。還知道他在第?1?小時(shí)比第?2?小時(shí)少騎?8?千米， 第?2?小時(shí)騎了一段上坡路，又騎了一段平坦路，第?2?小時(shí)比第?3?小時(shí)少騎了?5?千米。甲乙兩地之間的距離是（ ? ?）千米。

?

「答案解析」

被這題目搞得暈頭轉(zhuǎn)向的，一定要畫好示意圖。這樣的題目，如果用常規(guī)的路程問(wèn)題來(lái)解，那變量就太多了，解答起來(lái)很麻煩。

從示意圖可以看到，小明從甲爬坡到A點(diǎn)，花了1個(gè)小時(shí)。

從A點(diǎn)到O點(diǎn)繼續(xù)爬坡，過(guò)了O點(diǎn)后走平路到乙點(diǎn)后返回，到B點(diǎn)后又花了1個(gè)小時(shí)。

從B點(diǎn)繼續(xù)走了一段平路，然后從O點(diǎn)開始下坡，返回甲地，又花了1個(gè)小時(shí)。

這里我們要搞清楚，第2小時(shí)為什么會(huì)比第1小時(shí)多跑了8公里呢？

AO段是在爬坡，速度跟第1小時(shí)一致，因此，多跑的8公里是甲到達(dá)O地后，1小時(shí)內(nèi)剩下的時(shí)間拉出來(lái)的差距。

假設(shè)在平路騎行的速度是v，因此，小明從O地到乙，然后再返回B地，所耗費(fèi)的時(shí)間就是：

也就是說(shuō)，第2個(gè)小時(shí)里，有0.8小時(shí)走的是平路。

因此，小明從A地到O地，所耗費(fèi)的時(shí)間就是：

同理，返回時(shí)小明從B騎行到O地，速度和平地一致，沒有拉開差距。

小明上坡時(shí)，從A地到O地花了0.2小時(shí)，那么在這么長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，小明下坡可以拉開的距離是：

那么，剩下的公里的距離，是其他下坡時(shí)間跟走平路拉開的，因此，這段走平路所花的時(shí)間為：

也就是說(shuō)，從B地到乙地，再?gòu)囊业氐紹地，所花的時(shí)間就是0.4小時(shí)。

因此，小明從乙地騎行到B地，花的時(shí)間就是：

所以，小明從O地到B地，花的時(shí)間就是：

因此，從甲地到O地的上坡路程就是：

同理，從O地到甲地的下坡路程，用返程的速度和時(shí)間表達(dá)出來(lái)就是：

由于距離相等，有：

可以解得:

從而，甲乙兩地的距離就是：

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