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一、填空題（1~10題）

- １ -

兩個(gè)質(zhì)數(shù)與1之和等于2020，則這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積等于________．

【答案】4034．

【解析】a + b + 1 = 2020，a + b = 2019，a、b為一奇數(shù)一偶數(shù)，偶數(shù)為唯一的偶質(zhì)數(shù)2，奇數(shù)為2017，乘積2 × 2017 =?4034．

- 2 -

2.一顆參天大樹，樹干周長為3米。地上有一根常青藤恰好繞了它5圈，藤尖離地面20米高那么，這根常青藤至少有________米．

【答案】25．

【解析】樹干作為圓柱體，繞了5圈，說明水平方向轉(zhuǎn)動(dòng)了5圈，即3 × 5 = 15米，高為20米，說明豎直方向上升了20米．根據(jù)勾股定理，勾3股4弦5，15和20分別是3和4的5倍，所以虅長是弦5的5倍，為25米．

- 3 -

若正整數(shù)n使得3n – 4，4n – 5和5n – 3都是質(zhì)數(shù)，則這三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積等于________．

【答案】42．

【解析】(5n – 3) – (3n – 4) = 2n + 1，為奇數(shù)，故3n – 4和5n – 3奇偶性不同，其中小的那個(gè)是偶質(zhì)數(shù)2，故3n – 4 = 2，n = 2，此時(shí)3個(gè)數(shù)為2，3，7，乘積2 × 3 × 7 =?42．

- 4 -

4.被2，3，4，5，6除都余1且被7整除的自然數(shù)中最小的一個(gè)是________．

【答案】301．

【解析】這個(gè)數(shù)除以2，3，4，5，6余1，那么這個(gè)數(shù)減1就是2，3，4，5，6的公倍數(shù)，就是60的倍數(shù)，

所以這個(gè)數(shù)可以為61、121、181、241、301、……；第一個(gè)7的倍數(shù)是301．

- 5 -

如圖，在一個(gè)大正方形紙片中，剪出兩個(gè)帶陰影的正方形：一個(gè)為甲，另一個(gè)為乙．已知甲的面積是16 cm2, 則乙的面積是________ cm2．

【答案】18．

【解析】甲為右上三角形的4/9，乙為左下角三角形的2/4 = 1/2，甲∶乙 = (4/9):(1/2) = 8:9，故乙為16 ÷ 8 × 9 =18 cm2．

- 6 -

甲、乙汽車分別從A，B兩站同時(shí)出發(fā)相向而行，兩車第一次在距A站32千米的C處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)行進(jìn)，各自到達(dá)B，A兩站后，立即沿原路返回，第二次在距A站64千米的D處相遇，則A，B兩站的距離是________千米．

【答案】80．

【解析】設(shè)全程為x千米，分析甲、乙、甲 + 乙在各段的行程：

- 7 -

一隊(duì)少年兒童不超過50人，圍成一圈做游戲，每個(gè)兒童的左、右相鄰的都恰是一個(gè)男孩和一個(gè)女孩．則這隊(duì)少年兒童最多有________人．

【答案】48．

【解析】設(shè)有一個(gè)男生，左右為一男一女，不妨設(shè)左邊為男生，即環(huán)形隊(duì)列以“男男女”開始，則接下來可以推導(dǎo)出依次是女男男女女……，4人一個(gè)循環(huán)，連接上開頭，故人數(shù)為4的倍數(shù)．50以內(nèi)4的倍數(shù)最大是48．

- 8 -

一個(gè)長方體，長 : 寬 = 2 : 1，寬 : 高 = 3 : 2．如果長方體所有棱長之和是220厘米，則長方體的體積是________立方厘米．

【答案】4500．

【解析】化公比，長 : 寬 : 高 = 6 : 3 : 2，又長 + 寬 + 高 = 220 ÷ 4 = 55，

可解得長 = 30，寬 = 15，高 = 10，體積為30 × 15 × 10 = 4500（立方厘米）．

- 9 -

戰(zhàn)斗在抗擊“新冠肺炎”第一線的鐘南山院士出生的公元年份數(shù)是個(gè)完全平方數(shù)，那么今年（2020年）鐘院士已經(jīng)是________歲高齡．

【答案】32.4

【解析】小于2020的平方數(shù)一次為1936、1849、……，顯然1936是一個(gè)合理的年份，

鐘院士的年齡為2020 – 1936 = 84（歲）．

- 10 -

由一條公路對A，B，C，D四個(gè)居民點(diǎn)依次開通四條道路（如圖）．已知沿道路→公路→道路移動(dòng)，由A到B的路程等于9千米，由A到C的路程等于13千米，由B到C的路程等于8千米，而由B到D的路程等于14千米．則由A到D的路程等于________千米．

【答案】19．

【解析1：代數(shù)法】

把公路上的3段分別標(biāo)為x，y，z，根據(jù)題意可知：

a + x + b = 9，……①

a + x + y + c = 13，……②

b + y + c = 8，……③

b + y + z + d = 14，……④

待求的A到D的路程為a + x + y + z + d，不包含b和c，故可先將方程組中的b、c消去，

c只出現(xiàn)2處，最少，可以先消去c，② – ③得：

a + x – b = 5……⑤

把⑤式分別與①式和④式相加，可以消去b，發(fā)現(xiàn)與④相加直接得到

a + x + y + z + d =19（千米）．

【解析2：直接分析】

AD = AC – BC + BD = 13 – 8 + 14 = 19（千米）．

二、解答題（11~15題）

- 11 -

- 12 -

⑴ 試將505寫成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和；

⑵ 能將2020寫成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和嗎？如果能，把它寫出來；如果不能，說明理由．

解：⑴ 505 = 101× 5 = (50 + 51) × 5 = 46 + 47 + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55．

⑵ 不能．

設(shè)10個(gè)連續(xù)自然數(shù)為a，a + 1，a + 2，……，a + 9，其和為10a + 45 為奇數(shù)，不可能為2020．

- 13 -

小明在一張平面曲邊薄板的邊緣上選取5個(gè)點(diǎn)A、P、B、C、D，如圖所示．已知AB//DC且AB = DC．連接PD交AB于E，連接PC交AB于F，連接EC．已知⊿PAE的面積為1.5，⊿PBF的面積為2.5，求⊿CEF的面積．

【答案】4．

【解析】本題主要考察對平行四邊形的一半面積的圖形的熟悉程度．

⑴ 你能看出來S⊿PDC - S⊿PAB是平行四邊形ABCD面積的一半么？若能，則：

S⊿PCD = S⊿PAB + S⊿DEC，

去掉S⊿DEC得：S⊿PCE = S⊿PAB，

去掉⊿PEF得：S⊿CEF = S⊿PAE + S⊿PFB = 4

⑵ 你能看出來S⊿PAD + S⊿PBC是平行四邊形ABCD面積的一半么？

你能看出來S⊿ADE + S⊿BCE也是平行四邊形ABCD面積的一半么？

去掉公共部分，得：S⊿CEF = S⊿PAE + S⊿PFB = 4

為什么S⊿PDC - S⊿PAB，S⊿PAD + S⊿PBC和S⊿ADE + S⊿BCE都是平行四邊形ABCD面積的一半？

請聰明的你自己探索吧！

- 14 -

對于任意的n個(gè)自然數(shù)，總能選出其中的4個(gè)數(shù)a，b，c，d，使得(a – b)(c – d)被2020整除．試確定n的最小值，簡述你的理由．

【答案】102．

【解析】本題考查抽屜原理．2020 = 101 × 20．當(dāng)有102個(gè)自然數(shù)時(shí)，它們除以101的余數(shù)只有101種情況，

所以必有兩個(gè)數(shù)余數(shù)相同，不妨設(shè)為a、b，則(a – b)是101的倍數(shù)，

去掉a、b，此時(shí)還剩下100個(gè)數(shù)，它們除以20的余數(shù)有20種情況，

所以至少有2個(gè)相同，不妨設(shè)為c，d，則(c – d)是20的倍數(shù)，

故(a – b)(c – d)是2020的倍數(shù)．

若只有101個(gè)數(shù)，我們?nèi)?~101，發(fā)現(xiàn)沒有一個(gè)差是101的倍數(shù)，

所以(a – b)(c – d)也不能是2020的倍數(shù)，101個(gè)數(shù)是不行的．

綜上所述，n的最小值為102．

- 15 -

100人參加象棋單循環(huán)賽，每兩人都對弈一局且決出勝負(fù)．

⑴ 求總共對弈多少局？

⑵ 證明：比賽結(jié)束后，一定可以將這 100個(gè)人列為一隊(duì)，使得隊(duì)列中的每一個(gè)人都戰(zhàn)勝了緊跟在他后面的那個(gè)人！

解：⑴ 100 × (100 – 1) ÷ 2 = 4950．

⑵ 證明，用一步一步增加人數(shù)的方法：

① 先在100個(gè)人里任選2人，將2人按勝者在前排列，即符合“每一個(gè)人都戰(zhàn)勝了緊跟在他后面的那個(gè)人”的要求，隊(duì)列可記為a?，a?；

② 再從剩余的人中任選一人，若其戰(zhàn)勝了a?，則排在a?前面；若其輸給a?，戰(zhàn)勝了a?，則排在a?和a?之間，若其輸給了a?，則排在最后；我們把新的隊(duì)列重新按順序記為a?，a?，a?，其仍然符合“每一個(gè)人都戰(zhàn)勝了緊跟在他后面的那個(gè)人”的要求．

③ 用②的方法逐個(gè)往隊(duì)列里面加人，直到把所有的人都排入隊(duì)列，這個(gè)隊(duì)列滿足“每一個(gè)人都戰(zhàn)勝了緊跟在他后面的那個(gè)人”的要求．

得證．

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