本期我們將會講述2019年AMC10 A真題的部分內(nèi)容。

上期：美國AMC10A數(shù)學(xué)競賽真題講解（一）

每天叫醒你的不是鬧鐘，而是夢想和態(tài)度

難易指數(shù)：★★★★

適宜對象：初、高中

本期編號：D00080

關(guān)鍵詞：美國AMC數(shù)學(xué)競賽、AMC10A

2019年AMC10A真題6-10講解

[Problem 6]

6.For how many of the following types of quadrilaterals does there exist a point in the plane of the quadrilateral that is equidistant from all four vertices of the quadrilateral?

• a square

• a rectangle that is not a square

• a rhombus that is not a square

• a parallelogram that is not a rectangle or a rhombus

• an isosceles trapezoid that is not a parallelogram

答案：(C)

[分析與解答]

原題意為：對于以下幾種類型的四邊形，有哪些在其平面中存在一個(gè)點(diǎn)與所有的四個(gè)頂點(diǎn)等距？

• 正方形

• 不是正方形的矩形

• 不是正方形的菱形

• 不是矩形或菱形的平行四邊形

• 不是平行四邊形的等腰梯形

此題實(shí)際上是考察“4點(diǎn)共圓”，其判定條件為：

• 4個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，如：正方形

• 四邊形的一組對角互補(bǔ)，如：矩形、等腰梯形

對于菱形，由于對角相等，如果要4點(diǎn)共圓，即：兩對角之和為180°，這樣的話，這兩個(gè)角就會是90°，從而可得知該菱形為正方形。

對于普通的平行四邊形，也是對角相等，同菱形一樣的道理，可推得其為矩形。

[Problem 7]

7.Two lines with slopes 

 and 2 intersect at (2, 2). What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line x + y = 10?

答案：(C)

[分析與解答]

原題意為：坡度為

和2的兩條直線在（2, 2）處相交。由這兩條線和x+y=10線圍成的三角形面積是多少？

根據(jù)題意知，坡度為

和2的兩條直線的方程為：

y-2=2(x-2)，即:y=2x-2

y-2=(x-2)/2, 即:y=x/2+1

另外，還可以求得，這兩條直線與x+y=10的交點(diǎn)分別為：

F(4, 6)、G(6, 4)

交點(diǎn)的距離為：

FG = 2√2

進(jìn)而可求得，交點(diǎn)C(2, 2)與F、G的距離，分別為：

FC = GC = 2√5

解法1：三角形面積公式

根據(jù)上述分析，有▲FCG為等腰三角形，如下圖所示：

作▲FCG的高CN，交FG于N，則：

FN=NG=√2

則，在直角三角形中由勾股定理可得：

CN=3√2

于是▲FCG的面積為：

2√2 × 3√2 ÷ 2 = 6

解法2：高等數(shù)學(xué)-積分求面積

根據(jù)題意及上述直線方程，我們可以作出如下圖：

根據(jù)積分的思想，封閉圖形的面積為：

[Problem 8]

8.The figure below shows line L with a regular, infinite, recurring pattern of squares and line segments.

How many of the following four kinds of rigid motion transformations of the plane in which this figure is drawn, other than the identity transformation, will transform this figure into itself?

• some rotation around a point of line L

• some translation in the direction parallel to line L

• the reflection across line L

• some reflection across a line perpendicular to line L

答案：(C)

[分析與解答]

原題意為：下圖顯示的是L線，有規(guī)則的、無限的、重復(fù)出現(xiàn)的正方形和線段圖案。除了恒等式變換外，下列四種繪制此圖形的平面運(yùn)動變換方案中，有多少種能將此圖形轉(zhuǎn)換為自身？

1. 繞直線L點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)

2. 與L線平行的變換

3. 與直線L的鏡像

4. 一條垂直于直線L的鏡像

• 1.正確，在上向正方形和下向正方形中間的點(diǎn)上旋轉(zhuǎn)180°將產(chǎn)生相同的圖形；

• 2.正確，向左或向右的變換，可使線上和線下的圖形重新對齊（圖形向兩個(gè)方向無限延伸）。

• 3.錯誤，會導(dǎo)致向上方塊變成向下方塊；

• 4.錯誤，會導(dǎo)致?lián)Q向。

[Problem 9]

9.What is the greatest three-digit positive integer n for which the sum of the first n positive integers is not a divisor of the product of the first n positive integers?

答案：(B)

[分析與解答]

原題意為：滿足前n個(gè)正整數(shù)之和，但不是前n個(gè)正整數(shù)之積的因數(shù)，最大三位數(shù)正整數(shù)n是多少？

前n個(gè)數(shù)之積為：

J = 1×2×3×……×n

等差數(shù)列求和：二年級“等差數(shù)列”，7種方法解出新高度

根據(jù)等差數(shù)列求和公式有，前n個(gè)正整數(shù)之和為：

S = (1+n)n/2

如果n為奇數(shù)，則(1+n)/2為[1-n]之間的數(shù)，此時(shí)S必然是J的因數(shù)。

如果n為偶數(shù)，則n/2為[1-n]之間的數(shù)，要使S不是J的因數(shù)，則：(1+n)必須是素?cái)?shù)。

由于998+1=999=9×111，不是素?cái)?shù)；而996+1=997，是素?cái)?shù)，因此所求的數(shù)為996。

[Problem 10]

10.A rectangular floor that is 10 feet wide and 17 feet long is tiled with 170 one-foot square tiles. A bug walks from one corner to the opposite corner in a straight line. Including the first and the last tile, how many tiles does the bug visit?

答案：(C)

[分析與解答]

原題意為：一塊10英尺×17英尺的長方形地板上，鋪了170塊面積為1平方英尺的瓷磚。一只蟲子沿著直線，從一個(gè)角落走到另一個(gè)角落。包括第一塊和最后一塊磚，這只蟲子總共走了多少塊磚?

我們將長方形的地板制作為一個(gè)直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

蟲子從A點(diǎn)爬到對角點(diǎn)B

在此直角坐標(biāo)系中，直線AB的方程為：

蟲子經(jīng)過多少塊磚，表現(xiàn)為直線AB與垂直于x軸的整數(shù)直線族、垂直于y軸的整數(shù)直線族的交點(diǎn)數(shù)。即：

x=n（n=0，1，……，16，17）

y=m（m=0，1，2，……，9，10）

n和m的數(shù)目之和為：18+11=29。

n和m公用的點(diǎn)為A、B，共2個(gè)。

重復(fù)計(jì)算的方塊，A與E點(diǎn)共用一塊，而F與B不共用。

因此共有：29-2-1=26塊。

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