第 502 期回顧

如圖,在正方形 ABCD 中,點(diǎn)E、F分別是 BC、DC 邊上的兩點(diǎn),且 ∠EAF=45°,AE、AF 分別交 BD 于 M、N.下列結(jié)論:

① AB2=BN?DM;

② AF 平分 ∠DFE;

③ AM?AE=AN?AF;

④ BE+DF=√2MN.

其中正確的結(jié)論是(　　)

A  ①②

B  ①③

C  ①②③

D  ①②③④

分析:① 轉(zhuǎn)證 AB:BN=DM:AB,因?yàn)?AB=AD,所以即證 AB:BN=DM:AD.證明 △ABN∽△ADM(根據(jù)兩角相等);

② 把 △ABE 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°,得 △ADH.證明 △AFH≌△AFE(SAS);

③ 即證 AM:AN=AF:AE.證明 △AMN∽△AFE (兩角相等);

④ 由② 得 BE+DF=EF.運(yùn)用特值法驗(yàn)證.當(dāng) E 點(diǎn)與 B 點(diǎn)重合、F 與 C 重合時(shí),根據(jù)正方形的性質(zhì),結(jié)論成立.

解:① ∵∠BAN=∠BAM+∠MAN

=∠BAM+45°,

∠AMD=∠ABM+∠BAM

=45°+∠BAM,

∴∠BAN=∠AMD.

又 ∠ABN=∠ADM=45°,

∴△ABN∽△ADM,

∴AB:BN=DM:AD.

∵AD=AB,

∴AB2=BN?DM.

故 ① 正確;

② 把 △ABE 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°,

得到 △ADH.

∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,

∴∠BAE+∠DAF=45°.

∴∠EAF=∠HAF.

∵AE=AH,AF=AF,

∴△AEF≌△AHF,

∴∠AFH=∠AFE,即 AF平分∠DFE.

故 ② 正確;

③∵AB∥CD,

∴∠DFA=∠BAN.

∵∠AFE=∠AFD,∠BAN=∠AMD,

∴∠AFE=∠AMN.

又∠MAN=∠FAE,

∴△AMN∽△AFE.

∴AM:AF=AN:AE,

即 AM?AE=AN?AF.

故③正確;

④ 由 ② 得 BE+DF=

DH+DF=FH=FE.

過(guò) A 作 AO⊥BD,

作 AG⊥EF.

則 △AFE 與 △AMN的相似比

就是 AG:AO.

易證 △ADF≌△AGF(AAS),

則可知 AG=AD= 根號(hào) 2AO,

從而得證故 ④ 正確.

故選 D.

正方形的性質(zhì)、相似(包括全等)三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),綜合性極強(qiáng),難度較大.

第 503 期題目

如圖,正方形 ABCD 中,點(diǎn) E、F 分別是 BC、CD 邊上的點(diǎn),且 ∠EAF=45°,對(duì)角線 BD 交 AE 于點(diǎn) M,交 AF 于點(diǎn) N.若 AB=4√2,BM=2,則 MN 的長(zhǎng)為_(kāi)___

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