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第 527 期回顧

己知兩個自然數(shù)的差為 4,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積為 252,求這兩個自然數(shù).

解:設這兩個自然數(shù)分別為a與b,且a>b,

a=da1,

b=db1,

(a1,b1)=1.

因為a-b=4,

所以da1-db1=4,

于是有d×(a1-b1)=4,

因此d為4的約數(shù).因為這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積為252,

所以d×da1b1=252,

于是有d2a1b1=(2×3)2×7,

因此d為2×3的約數(shù).故d為4與2×3的公約數(shù).

由于(4,2×3)=2,

2的約數(shù)有1和2兩個,所以d可能取1、2這兩個值.

如果d=1,

由d×(a1-b1)=4,

有a1-b1=4

又由d2×a1b1=252,

有a1b1=252.

252表示成兩個互質數(shù)的乘積有4種形式:

252=1×252

=4×63

=7×36

=9×28,

但是252-1=251≠4,

63-4=59≠4,

28-7=19≠4,

28-9=19≠4,

所以d≠1;

如果d=2,

由d×(a1-b1)=4,

有a1-b1=2,

又由d2×a1b1=252,

有a1b1=63,

63表示為兩個互質數(shù)的乘積有兩種形式:

63=1×63=7×9,

但63-1=62≠2,

而9-7=2,

且(9,7)=1,

所以d=2,

并且a1=9,

b1=7.

因此a=2×9=18,

b=2×7=14.

這兩個數(shù)為18和14.

第 528 期題目

小明騎車上學,原計劃每分鐘行 200 米,正好準時到達學校,有天因下雨,他每分鐘只能行 120 米,結果遲到了 5 分鐘.他家離學校有多遠?

完

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