三角形面積公式是指使用算式計算出三角形的面積，同一平面內(nèi)，且不在同一直線的三條線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做三角形，符號為△。

常見的三角形按邊分有等腰三角形（腰與底不等的等腰三角形、腰與底相等的等腰三角形即等邊三角形）、不等腰三角形；按角分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等，其中銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱斜三角形。

本期我們就一起來看看三角形面積公式吧。

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難易指數(shù)：★★★★

適宜對象：小學(xué)培優(yōu)、初中

本期編號：D00059

關(guān)鍵詞：三角形面積公式、三角形面積問題

三角形面積公式

1.基本公式

已知三角形底a，高h(yuǎn)，則：

2.海倫-秦九韶公式

海倫公式，已知三角形三邊a、b、c，則：

其中：

。

秦九韶“三斜求積木”：

在秦九韶公式中，將海倫公式中的參數(shù)p代入后，化簡就可得海倫公式。

3.正弦定理-三角形面積公式

已知三角形兩邊a、b，這兩邊夾角C，則

即：兩夾邊之積乘夾角的正弦值。

4.內(nèi)切圓求解三角形面積

設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積：

證明方法

三角形三個角的角平分線的交點為內(nèi)心，容易證得：

AE=AF，CE=CD，BD=BF

根據(jù):

SABC=SABO+SBOC+SAOC

容易證得：

5.外接圓求解三角形面積

設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為R，則三角形面積：

S=abc/4R

此公式的推導(dǎo)可以根據(jù)正弦定理得到。

6.行列式幾何意義(線性代數(shù))

行列式形式

為三階行列式，此三角形

，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)：

這里

選取最好按逆時針順序從右上角開始取，因為這樣取得出的結(jié)果一般都為正值，如果不按這個規(guī)則取，可能會得到負(fù)值。該公式的證明可以借助“兩夾邊之積乘夾角的正弦值”的面積公式。

注：此為高等數(shù)學(xué)-線性代數(shù)內(nèi)容。

7.三角形中線面積公式

已知m、n、p分別為三角形ABC的三條中線的長度，則有：

推導(dǎo)過程見下文。

8.根據(jù)三角函數(shù)求面積

S▲

= absinC/2

= 2R2sinAsinBsinC

= a2sinBsinC/(2sinA)

注:其中R為外切圓半徑。

9.根據(jù)向量求面積

其中，(x1,y1,z1)與(x2,y2,z2)分別為向量AB與AC在空間直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表達(dá)，即：向量鄰邊構(gòu)成三角形面積等于向量鄰邊構(gòu)成平行四邊形面積的一半。

同類拓展

1.已知△ABC，三條中線AD、BE、CF，其中AD=9，CF=12，BE=15，求△ABC的面積。

答案：72

2.In the non-convex quadrilateral ABCD shown below, ∠BCD is a right angle, AB=12, BC=4, CD=3, and AD=13.

What is the area of quadrilateral ABCD?（2017 AMC8）

(A)12  (B)24  (C)26  (D)30  (E)36

答案：(B)

3.下圖中有21個點，其中每相鄰的三點“∴”或“∵”所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形，試計算三角形ABC的面積。

答案：10

附1：海倫-秦九韶公式推導(dǎo)

附2：三角形中線面積公式推導(dǎo)