幾個(gè)數(shù)共有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中除0以外最小的一個(gè)公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

自然數(shù)a、b的最小公倍數(shù)可以記作[a,b]，自然數(shù)a、b的最大公因數(shù)可以記作(a、b)，當(dāng)(a、b)=1時(shí)，[a、b]= a×b。如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則它們的最小公倍數(shù)就是較大的數(shù)，相鄰的兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積。

本期谷老師通過幾道關(guān)于“公倍數(shù)”的問題，來(lái)講述解答這類題應(yīng)注意的事項(xiàng)。

每天叫醒你的不是鬧鐘，而是夢(mèng)想和態(tài)度

難易指數(shù)：★★★★

適宜對(duì)象：小學(xué)培優(yōu)

本期編號(hào)：D00035

關(guān)鍵詞：最小公倍數(shù)

示例1：小朋友分水果，三種水果共65個(gè)，平均每2個(gè)人吃一個(gè)桔子，平均每3個(gè)人吃一個(gè)蘋果，平均每4個(gè)人吃一個(gè)梨子。請(qǐng)問共有多少位小朋友？

思路分析：

小朋友的位數(shù)，是2、3、4的公倍數(shù)，而2、3、4最小公倍數(shù)為12，此時(shí)有：

桔子數(shù)目：12÷2 = 6(個(gè))

蘋果數(shù)目：12÷3 = 4(個(gè))

梨子數(shù)目：12÷4 = 3(個(gè))

水果最小公倍數(shù)為：6 + 4 + 3 = 13

解答

由題意知，實(shí)際的水果數(shù)目為65個(gè)。又根據(jù)上述分析知，水果最小公倍數(shù)為13，因此，水果的倍數(shù)為：

65 ÷ 13 = 5(倍)

故，小朋友的位數(shù)為：

12 × 5 = 60(位)

示例2：【易錯(cuò)名題】24名同學(xué)面向老師站成一行。老師先讓大家從左至右按1，2，3，…依次報(bào)數(shù)；再讓報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)?，F(xiàn)在面向老師的同學(xué)還有多少位？

思路分析：

報(bào)4的倍數(shù)同學(xué)有：24÷4 = 6(位)

報(bào)6的倍數(shù)同學(xué)有：24÷6 = 4(位)

4和6的最小公倍數(shù)為：12

重復(fù)報(bào)數(shù)的為：24÷12 = 2(位)

解答

根據(jù)上述分析，同學(xué)位數(shù)為：

24 - 6 - 4 + 2 = 16(位)

然而這么做，你就錯(cuò)了！

我們現(xiàn)在再來(lái)分析，首先將同學(xué)按4的倍數(shù)進(jìn)行編號(hào)，如下所示：

將編號(hào)為：4、8、12、16、20、24的同學(xué)向后轉(zhuǎn)有：

將同學(xué)按6的倍數(shù)進(jìn)行編號(hào)，如下圖所示：

將編號(hào)為：6、12、18、24編號(hào)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)有：

故，最終剩下：24 - 6 = 18(位)同學(xué)面向老師。

總結(jié)

1）理解公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的概念。

2）注意區(qū)分最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)。

3）靈活運(yùn)用最小公倍數(shù)解決實(shí)際問題。

同類拓展：

1. 暑假期間，五年級(jí)的同學(xué)參加夏令營(yíng)活動(dòng)。人數(shù)在40至50人之間，如果六人一組就會(huì)多四人，如果八人一組就會(huì)少二人。請(qǐng)問參加夏令營(yíng)活動(dòng)的有多少人？

答案：50人。

2. “有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問物幾何？”。(孫子-余數(shù)問題)

答案：23+105k(k≥0整數(shù))。