“相遇問題”是奧數(shù)當(dāng)中常見的問題，由于小學(xué)階段沒有學(xué)過“二元一次方程”，所以它又是一類比較難懂的問題。本期谷老師通過對(duì)“相遇問題”的重新梳理，來講述解答這類題，應(yīng)該注意的事項(xiàng)。

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難易指數(shù)：★★★★★

適宜對(duì)象：小學(xué)培優(yōu)

本期編號(hào)：D00001(更新版)

例：小明和小黃，沿相同方向從同一地點(diǎn)出發(fā)，小明早上7點(diǎn)出發(fā)，而小黃卻晚2小時(shí)出發(fā)，下午4點(diǎn)的時(shí)候，兩人相距2km，下午6點(diǎn)的時(shí)候，兩人再次相距2km，求小明和小黃的速度。

思路分析：

下午4點(diǎn)和下午6點(diǎn)，兩人之間的路程關(guān)系如下圖所示：

很明顯，在這2小時(shí)中，小黃比小明多走了：AB-CD=4km，因此小黃的速度比小明快：4÷2=2km/小時(shí)。

解法1（假設(shè)法)

由題意可知：小明由7點(diǎn)到下午4點(diǎn)（共計(jì)9小時(shí)），比小黃由早上9點(diǎn)到下午4點(diǎn)（共計(jì)7小時(shí)），多走了2km。

在此，我們可以假定，小黃也是早上7點(diǎn)出發(fā)，同樣經(jīng)歷9小時(shí)，由于小黃的速度比小明快2km/小時(shí)，因此，如下圖（3.小黃）所示，小黃將比小明多走:9*2=18km。

于是，小黃之前晚2小時(shí)，落后2km，而補(bǔ)上這2小時(shí)，則領(lǐng)先18km，因此，小黃在2個(gè)小時(shí)中走了(18+2)km=20km.

故小黃的速度為：20km/2小時(shí)=10km/小時(shí)，從而小明的速度為8km/小時(shí)。

假設(shè)法是一種解決多元問題的好方法。

上述的“假設(shè)法”，是不是感覺似曾相識(shí)？

D00024期：雞兔同籠問題

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解法2（數(shù)形結(jié)合）

如下圖所示，我們建立橫坐標(biāo)軸為時(shí)間，縱坐標(biāo)軸為速度坐標(biāo)關(guān)系圖，因此，圖上圍成的面積代表路程。

1）根據(jù)下午4點(diǎn)到下午6點(diǎn)的關(guān)系可知，這2個(gè)小時(shí)當(dāng)中，小黃比小明多走了4km，在坐標(biāo)軸上，表現(xiàn)為下午4點(diǎn)到6點(diǎn)，小黃圍成的面積比小明多4，因此，Sabcd=4。

2）又根據(jù)cd=2，得：bd=4/2=2。

3）下午4點(diǎn)的時(shí)候，小明比小黃多走2km，在圖中表現(xiàn)為：Sfhgi -Sacef = 2。

4）另外，在坐標(biāo)圖上可知Sacef =2*7=14，因此：Sfhgi=14+2=16，從而可得gh=Sfhgi/2 =8。

5）所以，小明的速度為8(km/小時(shí))，小黃的速度為：gh+bd=10(km/小時(shí))。

將“相遇問題”轉(zhuǎn)換為“面積問題”，是不是一種不錯(cuò)的方法呢。

溫馨總結(jié)

1）“相遇問題”要注意分析題意，并畫出行程示意圖。

2）“數(shù)形結(jié)合”是一種很好的方法，平時(shí)應(yīng)注意多總結(jié)，然后才能靈活運(yùn)用。

同類拓展：

1. 甲乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，并在兩地間往返行走。第一次二人在距離B點(diǎn)400米處相遇，第二次二人又在距離B點(diǎn)100米處相遇，問兩地相距多少米？

答案：650m。

2. 甲、乙兩地相距600千米，快車和慢車分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，10小時(shí)相遇，快車的速度是慢車的兩倍。試問：如果慢車比快車早出發(fā)3小時(shí)，當(dāng)兩車相遇時(shí)快車離甲乙兩地中點(diǎn)相距多少千米？

(2013年亞太選拔賽-四年級(jí))

答案：60km。

3. 創(chuàng)新訓(xùn)練：甲乙兩人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，距離是100千米。甲每小時(shí)行6千米，乙每小時(shí)行4千米，甲帶著一條狗，狗每小時(shí)行10千米。這只狗同甲一道出發(fā)，碰到乙的時(shí)候，它就掉頭朝著甲這邊跑，碰到甲的時(shí)候，它又掉頭朝著乙這邊跑。直到兩人相遇時(shí)，這只狗一共跑了多少千米?

答案：100km。