點(diǎn)擊領(lǐng)取>>>北京各學(xué)校初一初二初三上學(xué)期期中考試真題及答案解析

四邊形中有一類(lèi)求面積是比較難的：頂點(diǎn)和對(duì)邊上的點(diǎn)連線，然后交織出的陰影部分的面積問(wèn)題——特別是四邊形本身還不是規(guī)則的四邊形。

我們?cè)倩貞浺幌律弦还?jié)中的例子：

E，F(xiàn)是AB和CD的中點(diǎn)，則四邊形BEDF的面積是四邊形ABCD的一半。本節(jié)中我們將反復(fù)使用這個(gè)結(jié)論——所以也強(qiáng)烈建議把這個(gè)作為常用結(jié)論記住。

接下來(lái)我們來(lái)看一些例子。

例：在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD與BC邊上的中點(diǎn)，已知△AMB和△DNC的面積分別為9和13，求四邊形FNEM的面積。

是不是感覺(jué)就應(yīng)該是22？

下一個(gè)問(wèn)題就是：怎么做？

如果三十秒內(nèi)看不出來(lái)，我覺(jué)得我教的很失敗。

沒(méi)錯(cuò)，又回到了之前我們提到的常見(jiàn)模型！我們把這個(gè)圖拆成兩部分，第一部分觀察四邊形AECF，這是ABCD的一半；再觀察EDFB，這也是ABCD的一半，于是根據(jù)前面類(lèi)似的討論，馬上可以得到FNEM的面積就是△AMB和△DNC的面積和，即22。

你想的一點(diǎn)沒(méi)錯(cuò)，這就是熱熱身。

我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子。

例：在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AD、DC、CB、BA邊上的中點(diǎn)，連接BE、DG、AF、HC，已知△AEP、△DQF、△RGC、△HSB的面積分別為7、10、9、6，求陰影部分面積。

32。

為什么？在這里無(wú)非就是對(duì)EDBG和AFCH用兩次模型而已。

搶答都會(huì)了！

同樣，我們可以把題目稍作變動(dòng)，連接BE、DH、DG、BF，然后求中間的DPBQ的面積。想一想，這時(shí)候我們需要什么樣的條件才能求呢？

現(xiàn)在知道難題是怎么出出來(lái)的了吧？

謊言重復(fù)一千遍就成了真理，簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)重復(fù)三遍就是難題。

我們?cè)賮?lái)看一個(gè)復(fù)雜一點(diǎn)的例子。

如圖：在梯形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G是邊CD的三等分點(diǎn)。△ADG的面積是17，△GEA的面積為31，求△BCF的面積。

你看，兩邊是中點(diǎn)的會(huì)了，現(xiàn)在一邊給你搞個(gè)中點(diǎn)，一邊搞個(gè)三等分點(diǎn)。這就是所謂的變一變又不會(huì)了的典型。

而且特別可氣的是，明知道能用上上面那個(gè)讓大家熟記的結(jié)論，但是就是感覺(jué)沒(méi)地方用——甚至你都能感覺(jué)到作中位線都是錯(cuò)誤的辦法。

怎么辦？

我們看能不能把這個(gè)化成我們熟知的問(wèn)題來(lái)解決。首先考慮，我們熟悉的問(wèn)題是什么？沒(méi)錯(cuò)，把DC上的三等分點(diǎn)換成中點(diǎn)就可以了。那么問(wèn)題來(lái)了，三等分點(diǎn)和中點(diǎn)之間能不能找到什么聯(lián)系呢？

如果把這條線段六等分會(huì)不會(huì)有什么用？因?yàn)?和3的最小公倍數(shù)是6，所以這樣做的話，似乎并沒(méi)有什么用處，因?yàn)檫@樣要多出來(lái)三個(gè)點(diǎn)，而且到底哪些點(diǎn)和這三個(gè)點(diǎn)連？看起來(lái)輔助線的條數(shù)實(shí)在是多得嚇人，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)小學(xué)生的心理承受能力，因此不對(duì)。

別笑，做題的題感也是解決問(wèn)題的一種工具。像這樣毫無(wú)目的性的輔助線，實(shí)在不是什么明智的辦法。

這時(shí)候換思路，怎么換？還是想把三等分點(diǎn)變成中點(diǎn)來(lái)對(duì)待。我們發(fā)現(xiàn)如果去掉1/3，那么剩下的2/3條線段中，不就有一個(gè)三等分點(diǎn)變成中點(diǎn)了么？

我們換個(gè)角度，把這個(gè)圖當(dāng)做一個(gè)基本模型，事實(shí)上在本題中也可以拆出兩個(gè)模型：ADFB和AGCB！

這是第一步，當(dāng)然也是最關(guān)鍵的一步。

如果能看出這個(gè)，那么距離題目被解決大概只剩下一半的工作了。我們的目標(biāo)是求△BCF的面積，根據(jù)缺什么設(shè)什么，設(shè)了什么就知道什么的原則，我們可以令△BCF的面積為x，于是x+31等于△EFB和△GFE的面積和。而△EFB的面積和△ADG的和又等于△AEG和△GEF的面積和。

我們通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可以得到△EBF的面積為(x+45)/2，△GEF的面積為(x+17)/2，然后呢？

又卡住了。

當(dāng)然，做到這里其實(shí)已經(jīng)很不錯(cuò)了，距離最后做出來(lái)只差10%了，不過(guò)行百里者半九十，這10%還是挺要命的。

現(xiàn)在缺什么？

等式，一個(gè)含未知數(shù)的等式。

沒(méi)錯(cuò)，我們還缺一個(gè)方程。這個(gè)方程該怎么找呢？

我們?cè)俳榻B一個(gè)常用的定理：設(shè)E是AB的中點(diǎn)，ABCD是梯形，則△DEC的面積是梯形面積的一半。

這個(gè)定理的證明非常簡(jiǎn)單，可以用中位線的性質(zhì)很快得到，詳細(xì)過(guò)程留給讀者作為練習(xí)。

有了這個(gè)定理之后，我們發(fā)現(xiàn)，△DEC的面積等于3倍的△GEF的面積，又等于整個(gè)梯形面積的一半，所以我們可以得到等式：

3×(x+17)/2=[17+31+(x+17)/2+(x+45)/2+x]/2

解得x=28。

你看，化歸的作用是不是很厲害？當(dāng)然，今天補(bǔ)充的這個(gè)定理也是小學(xué)面積問(wèn)題中常用的辦法，還是很有必要記住的

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