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第一部分  選擇題

選擇題  第8題

頻率與概率  數(shù)據(jù)分析

本題答案：C。

【解析】

此題屬于頻率與概率知識(shí)點(diǎn)的考察。主要考察通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，可以用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率估計(jì)它的概率。

與此題類(lèi)似的是北京2017年的選擇題最后一題：

第二部分  填空題

填空15題 

數(shù)學(xué)思維解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題

本題答案：16；29.

【解析】

第一個(gè)空比較容易，難點(diǎn)在于第二個(gè)空。

如何計(jì)算該班人數(shù)的最小值，最好借助圖形進(jìn)行分析。如下圖所示，思想品德和地理重合的人數(shù)最多，則班級(jí)總?cè)藬?shù)最少。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，這是高中《集合》章節(jié)韋恩圖的應(yīng)用，這個(gè)類(lèi)型在北京高考中也曾出現(xiàn)過(guò)，屬于高考試題的改編。

填空16題 

數(shù)學(xué)思維解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題

本題答案：便攜性。

【解析】

散點(diǎn)圖屬于高頻考點(diǎn)。但是我個(gè)人覺(jué)得這個(gè)空如果能夠明確限定一下保溫性還是便攜性，方便考生對(duì)此進(jìn)行選擇，可能會(huì)更好。另外，如何判斷哪個(gè)性能更好呢？這才是這道題要考察的目標(biāo)?？梢宰龀鲋本€y=x，看看各個(gè)性能對(duì)綜合質(zhì)量名次的貢獻(xiàn)，即可比較出優(yōu)勢(shì)所在。

無(wú)論如何，讀題、審題都非常重要！

第三部分  解答題

解答22題 

圓的證明與計(jì)算

【解析】

圓的小綜合，在量的積累的基礎(chǔ)上，需要進(jìn)行熟練掌握。總有一些成績(jī)好的考生在這個(gè)題型上耽誤時(shí)間，要么費(fèi)了好大勁終于克服困難做出來(lái)了，要么是費(fèi)了好大勁還是無(wú)功而返，哪一種情況出現(xiàn)都不是好現(xiàn)象。

解答23題 

一次函數(shù)與反比例函數(shù)

【解析】

這道題目還是有一定難度的。第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，難就難在第二問(wèn)，具體來(lái)講，是不太好畫(huà)圖，因此也就不容易得出具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算分析，建議考生拿出直尺慢慢移動(dòng)，在此過(guò)程中，可以借助幾何直觀，拿出鉛筆輕輕劃線找到恰當(dāng)?shù)奈恢弥笤龠M(jìn)行分析——除此之外，沒(méi)有更好地辦法。

如圖所示，分兩種情況進(jìn)行討論：

當(dāng)a>0時(shí)，O'(a,a),A'(a,a-2),P(a,4/a),

則可得：a≥4/a,a-2≤4/a;

當(dāng)a<0時(shí)，O'(a,a),A'(a,a-2),P(a,4/a),

則可得：a≥4/a,a-2≤4/a;

細(xì)心地讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，解不等式其實(shí)都是一樣的，僅僅是a的正負(fù)不同，據(jù)此可以得出標(biāo)答的正確答案，具體過(guò)程從略。

第四部分  壓軸題

解答26題 

代數(shù)壓軸題

【解析】

這道試題第一問(wèn)很容易，B(4,-3)。第二問(wèn)，相比于東西海三區(qū)，難度最大。主要是這個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程不太好把握，邏輯推理和幾何直觀高度配合，對(duì)草圖的精確度還有一定的要求。

先分析最簡(jiǎn)單的情形，即頂點(diǎn)恰好落在線段AB上時(shí)，此時(shí)a=1，如下圖所示，滿(mǎn)足要求。當(dāng)然，考生也可以依據(jù)極限位置分析，當(dāng)頂點(diǎn)在y軸正方向無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，無(wú)論怎樣翻折都，新圖像都不可能與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)頂點(diǎn)往下移動(dòng)時(shí)，首先可能滿(mǎn)足要求的就是頂點(diǎn)落在線段AB上這種情況。

當(dāng)頂點(diǎn)繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，新圖像與線段AB有三個(gè)公共點(diǎn)，不滿(mǎn)足要求。

當(dāng)頂點(diǎn)繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，如下圖所示，當(dāng)原拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，第一個(gè)臨界位置出現(xiàn)，此時(shí)a=0，顯然，這個(gè)值不可能取等號(hào)，下面的分析也可以幫助考生理解這里為什么不能取等號(hào)。

拋物線繼續(xù)往下移動(dòng)，原函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)落在點(diǎn)A下方時(shí)，滿(mǎn)足條件的情形出現(xiàn)，此時(shí)，a-3<-3，即a<0。當(dāng)拋物線繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，下一個(gè)臨界位置出現(xiàn)在什么位置呢？

當(dāng)拋物線繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，新圖像與線段AB的兩個(gè)交點(diǎn)重合，此時(shí)為新的臨界狀態(tài)。如下圖所示，此時(shí)a=-3，顯然，這個(gè)臨界位置不可取等號(hào)。

綜上可知，a的取值范圍為：-3<a<0或a=1.

【反思】

本題的難點(diǎn)在于動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中的圖形不太好作出草圖，而且臨界位置又需要同時(shí)分析幾何直觀和計(jì)算推理，無(wú)形之中都增大了解題的難度。

試題的形式一旦發(fā)生變化，考生就會(huì)覺(jué)得難度增加，越是這樣的時(shí)候，就越考驗(yàn)考生“基本動(dòng)作”的熟練程度，如果平時(shí)的解題經(jīng)驗(yàn)和心得體會(huì)不能內(nèi)化到自己的思維模式當(dāng)中，不能融化在血液里，那一定會(huì)為題海戰(zhàn)術(shù)付出代價(jià)。

有些時(shí)候，這些反復(fù)強(qiáng)調(diào)的思考方式，雖然不能與生俱來(lái)，但是真的希望能夠融入到血液之中，揮之不去。這可能就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，最有價(jià)值的東西了吧。

解答27題 

幾何壓軸題

【解析】

朝陽(yáng)的幾何綜合題，題干短小精悍，背景圖形是等腰直角三角形，貌似難度不大，但是以為輔助線的作法如果不熟悉，可能不大好入手分析。

補(bǔ)全圖形如下圖所示。結(jié)合題意，點(diǎn)D有兩個(gè)位置均可滿(mǎn)足題意。

(2)問(wèn)，計(jì)算α的值，幾何直觀輕松可得答案為30°。那么如果證明呢？需要作出輔助線進(jìn)行分析，輔助線的作法如下圖所示?？芍倪呅蜛EFD為矩形，AE=DF。因?yàn)锽C=2AE，則BD=BC=2AE=2DF，則Rt△BDF中可求得∠DBF為30°。

同理可得α的另一個(gè)值為150。

這個(gè)小問(wèn)題有兩個(gè)特點(diǎn)：一個(gè)是需要分類(lèi)討論，一個(gè)是角度的分析是通過(guò)計(jì)算得到的。希望考生能夠重視這個(gè)問(wèn)題的分析方法。

(3)若AB=2，求AD的長(zhǎng)度，依然也需要分類(lèi)計(jì)算，結(jié)合上一問(wèn)的結(jié)論，解簡(jiǎn)單的直角三角形，這最后一問(wèn)“一點(diǎn)都不難”，這么說(shuō)，不知考生是否覺(jué)得委屈？

解答28題 

新定義壓軸題

【解析】

朝陽(yáng)的新定義綜合題依然是“距離”。各個(gè)區(qū)縣在“距離”定義上不厭其煩的考，考生一定也不都會(huì)覺(jué)得陌生。本題這個(gè)定義的格式，歷史悠久，也是一道老的不能再老的新定義題目了，伴隨著北京中高考的改革一路走來(lái)，“折磨”了一屆又一屆的考生，高中生、初中生無(wú)一幸免幸免。這類(lèi)試題，對(duì)思維品質(zhì)要求非常高，作出正確答案比較容易，但是要讓考生甚至新手老師講清楚、說(shuō)明白卻也并不容易。

“直角距離”也叫做“出租車(chē)距離”，理解定義的關(guān)鍵在于這個(gè)距離是兩個(gè)數(shù)據(jù)的“和”，是兩個(gè)點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線組成的直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度之和。

第（1）問(wèn)，幫助考生理解定義的送分題。

第（2）圈1，這是這道題目的關(guān)鍵部分，承上啟下。分析時(shí)，需要采取一定的步驟。直線被坐標(biāo)系四個(gè)象限分成了三段，分別分析當(dāng)點(diǎn)D位于直線在第四象限部分、直線在第二象限部分和直線的第一象限部分，如下圖所示。

第（2）圈2，需要重新理解圈1的解題經(jīng)驗(yàn)。在圈1中，d(O,B)的最小值恰恰出現(xiàn)在點(diǎn)O的正上方，這是不是巧合？

思維鏈條比較長(zhǎng)的題目，為了說(shuō)得清楚，需要把思維放慢，鏈條分段，依據(jù)條件不斷獲取更多信息。我們需要分為三個(gè)步驟來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題。

第一個(gè)步驟：如下圖，不失一般性，在圓O上任意取定一點(diǎn)C，觀察點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，d(B,C)的最小值如何求？當(dāng)點(diǎn)B為任意一點(diǎn)B1時(shí)，對(duì)應(yīng)的d(B,C)為Rt△B1CE的兩條直角邊的長(zhǎng)度之和，當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)C正上方的B0時(shí)，此時(shí)d(B,C)的值為線段CB0的長(zhǎng)度，顯然，CB0的長(zhǎng)度應(yīng)該小于Rt△B1CE的兩條直角邊的長(zhǎng)度之和（為什么？），于是當(dāng)點(diǎn)C位置確定時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線與直線交于點(diǎn)B及為所求，此時(shí)d(B,C)取最小值。

第二個(gè)步驟：當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，又該如何分析呢？由上面分析我們知道，d(B,C)的最小值其實(shí)就是當(dāng)CB平行y軸時(shí)的CB0的長(zhǎng)度，那么CB0和哪個(gè)數(shù)值有關(guān)呢？如下圖，過(guò)點(diǎn)C向直線作垂線垂足為H，顯然，CB0的長(zhǎng)度和垂線段CH的長(zhǎng)短有關(guān)。因?yàn)椤螩B0H的大小是固定的，所以當(dāng)CH最小值，CB0的值也最小。

第三個(gè)步驟：那么，CH什么時(shí)候取到最小值呢？這里用到一個(gè)典型的最值模型。過(guò)原點(diǎn)O向直線作垂線，此時(shí)的CH最?。槭裁?？），于是CB也最小，即d(B,C)取到最小值。結(jié)合基本直角三角形三邊關(guān)系，可以求得此時(shí)的最小值，計(jì)算過(guò)程如下圖所示。

【反思】

新定義試題的解題方法之前的試題解析中反復(fù)講過(guò)多次，在《北京中考數(shù)學(xué)壓軸題解題方法突破》中也詳細(xì)介紹過(guò)，在此就不再贅述?？忌雽⒋祟}完全弄明白，或者檢驗(yàn)考生是否真正理解了分析的思路和思維的方法，我覺(jué)得最直接、高效的就是進(jìn)行一下變式訓(xùn)練，可以從兩個(gè)角度進(jìn)行思考：

變式一：(2)圈1中將固定直線改為過(guò)定點(diǎn)(-2,3)的直線，為了降低難度，可以限定直線不經(jīng)過(guò)第四象限，點(diǎn)B是此動(dòng)直線上任意一點(diǎn)，求d(O,B)的最小值。提示：精確的答案需要結(jié)合直線斜率k值進(jìn)行表達(dá)；此處可以只分析思維過(guò)程，而不必寫(xiě)出具體答案。

變式二：(2)圈2中將直線的一次項(xiàng)系數(shù)中的負(fù)的四分之三，改成正的三分之四，其余條件不變，看看是否還能夠分析出正確的最值情形？提示：此處需要寫(xiě)出精確的答案。

如果考生果真是理解并掌握了原題的分析方法，而不是看答案之后“恍然大悟”，那么自然可以輕而易舉地解決這兩個(gè)變式訓(xùn)練。自命不凡的高水平選手們，敢接受挑戰(zhàn)試一試么？

題外話：最近兩天多個(gè)數(shù)學(xué)群都在討論這個(gè)“距離”題目，但是都沒(méi)有見(jiàn)到關(guān)于此題前世今生比較準(zhǔn)確的闡述。這樣的“距離”，最初見(jiàn)于2010廣東高考數(shù)學(xué)理科卷壓軸試題，以“折線距離”出現(xiàn)，2014年福建高考中也作為選擇題壓軸題出現(xiàn)。廣東2010年高考之后，緊接著在2011年1月份的期末考試當(dāng)中，海淀西城都對(duì)其青睞有加，北京其他區(qū)縣隨后進(jìn)行改造的題目也層出不窮。到了高中，這個(gè)類(lèi)型的題目也會(huì)碰到，躲是躲不過(guò)的。

第五部分  總結(jié)與題外話

1. 朝陽(yáng)這份試卷整體難度還是有的，比如填空題的最后兩道題，圓、代數(shù)壓軸題、幾何壓軸題、新定義壓軸題。

2. 做過(guò)的題目，看著眼熟的題目，是否真正理解，只需要將題目稍微進(jìn)行變化，稍加創(chuàng)新，自然可以檢查出考生理解的程度，這份試卷在這個(gè)方面做得很好，比如代數(shù)綜合題，新定義綜合題等。

3. 北京考題，在關(guān)鍵題型、題號(hào)上，往往是拒絕進(jìn)行題海戰(zhàn)術(shù)的，命題專(zhuān)家在這個(gè)地方苦心孤詣進(jìn)行試題的命制，希望用最佳試題檢測(cè)出考生的思維品質(zhì)，因此，我們?cè)趥淇嫉臅r(shí)候就一定要注意通性、通法的理解和掌握，要注重解題思路和技巧的歸納與總結(jié)，確保知識(shí)點(diǎn)上無(wú)漏洞?！肮视帽ǎ瑹o(wú)恃其不來(lái)，恃吾有以待之，無(wú)恃其不攻，恃吾有所不可攻也。”用兵法則是不要寄望于敵軍不會(huì)來(lái)侵犯，而應(yīng)依靠自己有充分的準(zhǔn)備,嚴(yán)陣以待；不要寄望于敵軍不會(huì)來(lái)進(jìn)攻，而要依靠自己堅(jiān)固的防守，攻不可破。這句話對(duì)于高水平考試備考高分滿(mǎn)分也是一樣的道理，只有考前備考充分，知識(shí)體系和方法技巧總結(jié)的完備，才可以達(dá)到“勝兵先勝而后求戰(zhàn)”的要求，而不是相反的“敗兵先敗而后求勝”的被動(dòng)局面。

4. 考試的最高境界，是會(huì)做的題目不出錯(cuò)。不要輕易說(shuō)“我會(huì)的”、“我馬虎了”，十五歲，是要為自己的失誤付出代價(jià)的年齡，也是要知道有一種心痛叫做“遺憾”的年齡。你會(huì)不會(huì)沒(méi)關(guān)系，失誤了就是做錯(cuò)了，扣分也是應(yīng)該的，機(jī)會(huì)只有一次，就看你能不能把握住！

內(nèi)容簡(jiǎn)介

第四版

《北京中考數(shù)學(xué)壓軸題解題方法突破》

本書(shū)是北京市第一本運(yùn)用解題理論、采用“編年體”形式對(duì)中考數(shù)學(xué)壓軸題的應(yīng)試策略、分析方法和解題思路進(jìn)行透徹解析的專(zhuān)業(yè)書(shū)籍.

對(duì)于中考解答題中的幾何綜合題、新定義類(lèi)型綜合題、代數(shù)綜合題，以及操作與實(shí)踐、推理與探究等以“生成性資源”為背景的解答題，選用最能反映命題趨勢(shì)的經(jīng)典試題，進(jìn)行深入解析，注重解題經(jīng)驗(yàn)的傳授與解題能力的提升，幫助考生養(yǎng)成科學(xué)的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.同時(shí)以微專(zhuān)題的形式兼顧選擇題和填空題中的壓軸題.

本書(shū)可作為初中生中考沖刺用書(shū)，亦可作為命題專(zhuān)家、教研員、一線教師和教育界相關(guān)人士研究北京中考數(shù)學(xué)壓軸題的參考書(shū)籍.

《北京中考數(shù)學(xué)壓軸題解題方法突破》由我與北京四中范興亞博士共同編寫(xiě)，西城區(qū)教育研修院黃婉華老師做序推薦，每年一版，專(zhuān)門(mén)指導(dǎo)北京考生進(jìn)行中考備考沖刺。第一版獲當(dāng)當(dāng)網(wǎng)新書(shū)暢銷(xiāo)榜中考數(shù)學(xué)類(lèi)第一名。2019年考生專(zhuān)用第四版，各大電商網(wǎng)站均可購(gòu)買(mǎi)。

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