公元1858年，德國數(shù)學家莫比烏斯（Mobius，1790-1868）和約翰·李斯丁發(fā)現(xiàn)：把一根紙條扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘接起來所做成的紙帶圈，具有魔術般的性質(zhì)。

普通的紙帶都有兩個面（即雙側(cè)曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶卻只有一個面（即單側(cè)曲面），一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。這樣的紙帶被稱為“莫比烏斯帶”。

每天叫醒你的不是鬧鐘，而是夢想和態(tài)度

難易指數(shù)：★★★

適宜對象：數(shù)學興趣班

本期編號：D00068

關鍵詞：莫比烏斯帶

莫比烏斯帶

制作方法

拿一張白色的長紙條，把一面涂成黑色，再把其中一端翻一個身，粘成一個莫比烏斯帶。用剪刀沿紙帶中央把它剪開。紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙圈。

莫比烏斯圈

新得到的這個較長的紙圈，卻是一個雙側(cè)曲面，它的兩條邊界自身雖不打結(jié)，但卻相互的套在一起。把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了，得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結(jié)而已。

相反，拿一張白的長紙條，把一面涂成黑色，把其中一端360度翻一個身，粘成一個雙側(cè)曲面。用剪刀沿紙帶中央把它剪開。紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出兩個環(huán)套環(huán)雙側(cè)曲面。

莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決。

比如在普通空間無法實現(xiàn)的"手套易位"問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質(zhì)的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎么扭來轉(zhuǎn)去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若你把它搬到莫比烏斯帶上來，那么解決起來就易如反掌了。

在自然界有許多物體也類似于手套那樣，它們本身具備完全相像的對稱部分，但一個是左手系的，另一個是右手系的，它們之間有著極大的不同。

拓撲變換

莫比烏斯帶是一種拓展圖形，它們在圖形被拉大、彎曲、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，不產(chǎn)生新點。

換句話說，這種變換的條件是：在原來圖形的點與變換了圖形的點之間存在著一一對應的關系，并且鄰近的點還是鄰近的點。這樣的變換叫做拓撲變換。

拓撲有一個形象說法——橡皮幾何學。因為如果圖形都是用橡皮做成的，就能把許多圖形進行拓撲變換。例如一個橡皮圈能變形成一個圓圈或一個方圈。但是一個橡皮圈不能由拓撲變換成為一個阿拉伯數(shù)字8。因為不把圈上的兩個點重合在一起，圈就不會變成8，“莫比烏斯帶”正好滿足了上述要求。

克萊因瓶

1882年，德國著名數(shù)學家菲立克斯·克萊因 (Felix Klein) 發(fā)現(xiàn)了后來以他的名字命名的著名“瓶子”。克萊因瓶的結(jié)構可表述為：一個瓶子底部有一個洞，現(xiàn)在延長瓶子的頸部，并且扭曲地進入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。和我們平時用來喝水的杯子不一樣，這個物體沒有“邊”，它的表面不會終結(jié)。它和球面不同 ，一只蒼蠅可以從瓶子的內(nèi)部直接飛到外部而不用穿過表面，即它沒有內(nèi)外之分。

實際上，可以說克萊因瓶是一個3°的莫比烏斯帶。我們知道，在平面上畫一個圓，再在圓內(nèi)放一樣東西，假如在二度空間中將它拿出來，就不得不越過圓周。但在三度空間中，很容易不越過圓周就將其拿出來，放到圓外。將物體的軌跡連同原來的圓投影到二度空間中，就是一個“二維克萊因瓶”，即莫比烏斯帶（這里的莫比烏斯帶是指拓撲意義上的莫比烏斯帶）。

再設想一下，在我們的3°空間中，不可能在不打破蛋殼的前提下從雞蛋中取出蛋黃，但在四度空間里卻可以。將蛋黃的軌跡連同蛋殼投影在三度空間中，必然可以看到一個克萊因瓶。

莫比烏斯帶的數(shù)學描述

可以用參數(shù)方程式創(chuàng)造出立體莫比烏斯帶。

莫比烏斯帶的參數(shù)方程

這個方程組可以創(chuàng)造一個邊長為1半徑為1的莫比烏斯帶，所處位置為x-y面，中心為（0，0，0）。參數(shù)u在v從一個邊移動到另一邊的時候環(huán)繞整個帶子。

從拓撲學上來講，莫比烏斯帶可以定義為矩陣[0,1]×[0,1]，邊由在

0≤x≤1的時候（x,0）~（1-x,1）決定。

旋轉(zhuǎn)緯度的分析

傳統(tǒng)的三維世界里，所有的維度都是直線式的，但如果將旋轉(zhuǎn)視為一種緯度，則相對容易對莫比烏斯帶進行解釋。

從莫比烏斯帶的結(jié)構來看，它包含了一個水平360度旋轉(zhuǎn)的維度，同時包含了一個垂直方向上360度旋轉(zhuǎn)的維度，加上帶子本身的平面（x,y）維度，莫比烏斯帶總共是四個維度。

兩個旋轉(zhuǎn)緯度的關系

如果垂直方向上旋轉(zhuǎn)的度數(shù)繼續(xù)增加，只會增加莫比烏斯帶纏繞的圈數(shù)，并不會額外增加空間的維度。

莫比烏斯帶的應用

1、用皮帶傳送的動力機械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶可以磨損的面積就變大了。

2、如果把錄音機的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就只有一個面了。

3、它還能平坦的嵌入三維空間。簡易的“莫比烏斯圈”可通過一張長方形紙任何一面反轉(zhuǎn)粘貼。