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 首先，在討論四年級進行思維訓(xùn)練的重要性之前，我們先一起了解一下四年級的孩子相比之前，發(fā)生了哪些變化，具備了什么特點。

一、四年級學(xué)生的特點

 四年級的孩子正處于向青少年過渡的兒童期后期階段，大腦發(fā)育正好處在內(nèi)部結(jié)構(gòu)和功能迅速發(fā)展和完善的關(guān)鍵期，孩子的學(xué)習(xí)能力和情感能力快速發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力和情感能力的重要時期。四年級還是養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和改變不良習(xí)慣的最后關(guān)鍵時機。在四年級以后，除非進行特殊的訓(xùn)練，孩子的學(xué)習(xí)習(xí)慣將很難改變。四年級孩子的意志發(fā)展開始從他律向自律過渡，開始具有自覺克服困難的意志，所以四年級是培養(yǎng)孩子學(xué)習(xí)恒心的關(guān)鍵期。隨著孩子交往范圍的擴展和認識能力的發(fā)展，四年級的孩子開始對很多事情形成自己的想法，但是他們辨別是非的能力還極其有限，社會交往缺乏經(jīng)驗，經(jīng)常會遇到許多自己難以明白的問題，開始產(chǎn)生很多不安和憂慮，需要家長和老師正確的引導(dǎo)。

 四年級是小學(xué)低年級向高年級的過渡期，孩子開始從被動的學(xué)習(xí)主體，向主動的學(xué)習(xí)主體改變，四年級是孩子形成內(nèi)部學(xué)習(xí)動機的開端，孩子自身心里和能力的發(fā)展都會表現(xiàn)出比較明顯的學(xué)習(xí)分化現(xiàn)象，有一些孩子甚至開始出現(xiàn)學(xué)習(xí)偏科的端倪。

 四年級孩子的年齡一般是9-11歲，處于兒童期的后期階段。大腦發(fā)育正好處于內(nèi)部結(jié)構(gòu)和功能完善的關(guān)鍵期，是培養(yǎng)孩子學(xué)習(xí)能力、情緒能力、意志能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣的最佳時期。研究表明，10歲孩子左右大腦前額皮層發(fā)育完善，孩子的天性開始消退；相反，大腦的抑制能力加強，兒童對于自己的行為和情緒變化變得更有意識，第二信號系統(tǒng)的語言和文字反應(yīng)增強，思維能力的發(fā)展處在轉(zhuǎn)折時期，抽象概括、分類、比較和推理能力開始形成；思維的敏捷性和靈活性提高，做題的速度和正確性提高，一題多解的數(shù)量增加。培養(yǎng)思維的獨立性和發(fā)散性在四年級尤為關(guān)鍵，而獨立性和發(fā)展性是創(chuàng)造性思維的必要條件。兒童開始有自己獨立的見解，獨立意識開始增強。

 四年級是培養(yǎng)孩子學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵期。學(xué)習(xí)能力是后天形成的，隨著經(jīng)驗和知識的積累不斷提高，注意力、記憶力、理解能力、思維能力和表達能力等學(xué)習(xí)能力不斷增強。隨著大腦發(fā)育的成熟，思維發(fā)展水平由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡，抽象思維逐漸成為一種重要的的思維形式，這是一個由量變到質(zhì)變的飛越過程。四年級孩子注意力的目的性更強，注意力保持的時間更持久，注意力的穩(wěn)定性由15-20分鐘提高到20-30分鐘，可以勝任更復(fù)雜的學(xué)習(xí)任務(wù)。這一時期孩子的記憶力、理解能力、思維能力和表達能力快速發(fā)展，是培養(yǎng)孩子寫作和閱讀能力的關(guān)鍵時期。孩子的邏輯和抽象思維能力開始增強，歸類、對比和推理等能力開始增強，對學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)將會起到事半功倍的作用。

 從小學(xué)四年級到高中三年級，隨著學(xué)生年齡的增長，其學(xué)習(xí)習(xí)慣的得分并不增加。養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的關(guān)鍵期是在小學(xué)中低年級，由于低年級以前形成的學(xué)習(xí)習(xí)慣具有不確定性和易變性。四年級孩子的學(xué)習(xí)動機從直接動機向間接動機開始轉(zhuǎn)化，即使沒有直接的獎勵，為了得到老師、同學(xué)、家長和其他人的肯定性評價，他們也會努力達到較好的學(xué)習(xí)效果。孩子成功的關(guān)鍵在于綜合素質(zhì)的發(fā)展。那些最成功的人士絕大多數(shù)在學(xué)校并不是學(xué)業(yè)成績最優(yōu)秀的學(xué)生，成功的關(guān)鍵是素質(zhì)。年輕有為的關(guān)鍵因素是良好的情緒能力、獨特的個性、良好的智力、良好的社會交往能力、正確的道德觀念和較高的審美能力。孩子的成功取決于良好的和全面的素質(zhì)。
綜上所述，總結(jié)一下，四年級的如下特點：

1、正處于向青少年過渡的兒童期后期階段，從他律向自律過渡，開始具有自覺克服困難的意志，四年級是培養(yǎng)孩子學(xué)習(xí)恒心的關(guān)鍵期。

2、四年級是小學(xué)低年級向高年級的過渡期，開始從被動的學(xué)習(xí)主體，向主動的學(xué)習(xí)主體改變，四年級是孩子形成內(nèi)部學(xué)習(xí)動機的開端。

3、思維發(fā)展水平由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡，抽象思維逐漸成為一種重要的的思維形式。四年級是培養(yǎng)孩子學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵期。

4、孩子注意力的目的性更強，注意力保持的時間更持久，注意力的穩(wěn)定性由15-20分鐘提高到20-30分鐘，可以勝任更復(fù)雜的學(xué)習(xí)任務(wù)。

5、低年級以前形成的學(xué)習(xí)習(xí)慣具有不確定性和易變性。四年級孩子的學(xué)習(xí)動機從直接動機向間接動機開始轉(zhuǎn)化，即使沒有直接的獎勵，為了得到老師、同學(xué)、家長和其他人的肯定性評價，他們也會努力達到較好的學(xué)習(xí)效果。所以，四年級是養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的關(guān)鍵期。

二、說說數(shù)學(xué)教學(xué)體系現(xiàn)狀

 從小學(xué)一年級到高中三年級，進行十二年系統(tǒng)學(xué)習(xí)的學(xué)科包括語文、數(shù)學(xué)、英語這三個

學(xué)科。在長達十多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，最開始的幾年才是最關(guān)鍵的部分。雖然在時間長度上只占大約三分之一，但所起的作用卻至少占了八成，是名副其實的“黃金期”。

 數(shù)學(xué)相對于其他學(xué)科的獨特之處，不僅在于她的思想方法豐富得多，而且她的思想方法并非附著在知識體系之上，而是承托著知識體系。換句話說，思想方法是數(shù)學(xué)的學(xué)科核心。遺憾的是，由于很多主觀和客觀因素的影響，我們的教學(xué)體系始終沒有重視這個核心。

 課堂教學(xué)被“有形”數(shù)學(xué)占滿，幾乎沒有“無形”數(shù)學(xué)的立錐之地，這個現(xiàn)實直接導(dǎo)致了刷題和套公式的盛行。一方面，老師沒有能力把“無形”的數(shù)學(xué)傳授給學(xué)生；另一方面，老師又要努力教會學(xué)生解題。一個不難想到的辦法，就是總結(jié)出各種形式套路，讓學(xué)生依葫蘆畫瓢地模仿。然而，由于學(xué)生并沒有真正理解隱藏在套路背后的本質(zhì)，在解題時就可能會用錯套路，或者在生搬硬套的過程中出現(xiàn)各種丟三落四的問題。于是，為了提高使用套路的正確率，就需要再打補丁——大量刷題。

 由于家長群體對數(shù)學(xué)的學(xué)科特點和數(shù)學(xué)教育的認知不足，因而在引導(dǎo)孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上犯了不少錯誤，而且面對課外輔導(dǎo)課程的時候，陷阱踩了一個又一個，花了很多冤枉錢不說，最可憐的還是孩子，盡管付出了大量的時間精力，不會做的題目卻越來越多，學(xué)好數(shù)學(xué)的希望也逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槭缓笫墙^望。

 關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個很普遍的認識錯誤，是不重視小學(xué)中低年級的學(xué)習(xí)。家長犯這樣的錯誤也是很可以理解的，因為站在成年人的角度來看，這個階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容大多數(shù)是基本的常識，比如數(shù)數(shù)和簡單的四則運算。何況，就難度而言自然是后續(xù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容更大。少數(shù)雞血型的家長從幼兒園甚至更早的時候就開始張羅著送孩子去學(xué)數(shù)學(xué)，也并非說明他們重視早期的學(xué)習(xí)。他們只不過是想讓孩子“贏在起跑線上”，在學(xué)習(xí)進度上領(lǐng)先于其他孩子。事實上，這種“搶跑”式的安排往往用更短的時間來完成早期“簡單的學(xué)習(xí)內(nèi)容”，因而更容易忽略掉一些重要的訓(xùn)練。

 在長達十多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，最開始的幾年才是最關(guān)鍵的部分。雖然在時間長度上只占大約三分之一，但所起的作用卻至少占了八成，是名副其實的“黃金期”。只要在這個階段做好了該做的事情，做對了該做的事情，后面就不存在實質(zhì)性的困難——當然，適量的時間精力投入還是必要的。反之，就會像大多數(shù)人對數(shù)學(xué)的感覺那樣——越學(xué)越難，越學(xué)越?jīng)]信心，越學(xué)越找不到方向。時間投入不斷增加，成績卻不斷下滑。

 對大多數(shù)人來說，數(shù)學(xué)是一個神秘的學(xué)科，因而也就不了解她的一個獨特之處——豐富的思想方法。表面上看，包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的不同學(xué)科，各自有自己的知識體系和思想方法。然而，其他學(xué)科的思想方法是附著在知識體系之上的。盡管掌握這些思想方法確實有助于更透徹地理解知識體系，但無視這些思想方法也只是減損我們對知識體系的理解深度，而不影響我們了解知識體系。特別是考慮到國內(nèi)的考試更多地關(guān)注學(xué)生對知識的了解而不是理解，所以很多學(xué)生仍然可以通過花費更多的時間死記硬背來獲取高分。

 數(shù)學(xué)相對于其他學(xué)科的獨特之處，不僅在于她的思想方法豐富得多，而且她的思想方法并非附著在知識體系之上，而是承托著知識體系。換句話說，思想方法是數(shù)學(xué)的學(xué)科核心。遺憾的是，由于很多主觀和客觀因素的影響，我們的教學(xué)體系始終沒有重視這個核心。學(xué)生們從頭到尾都只是在依葫蘆畫瓢地模仿老師總結(jié)的解題過程，以及努力了解盡可能多的技巧。大多數(shù)人從未嘗試理解這些解題過程，也說不清楚為什么這道題適合用這個技巧，那道題就要用另一個技巧，而只是在解題時近乎盲目地做一些嘗試，希望能幸運地盡快碰上一個正確的技巧。于是，解題就成了一個“瞎貓撞上死耗子”游戲，而難度越高的題目就像在越大的范圍內(nèi)去撞一只死耗子。

 數(shù)學(xué)是一個很古老的學(xué)科，她的內(nèi)容源于現(xiàn)實世界，同時又具有符號化和抽象化的特征，兩者自然地融合統(tǒng)一在這個學(xué)科中。然而，它們在教學(xué)中卻很容易被對立起來。數(shù)學(xué)的有形之處是各種數(shù)學(xué)符號、運算、公式和定理，這也是課堂教學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。數(shù)學(xué)的無形之處是對現(xiàn)實世界的觀察、思考和總結(jié)，它們看不見摸不著，只能用意識去理解，而且“言傳”的難度還更高于“意會”。因此，大多數(shù)老師只有教“有形”數(shù)學(xué)的能力，因而學(xué)生學(xué)的也就只能是缺胳膊斷腿的數(shù)學(xué)，這是導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的一個重要根源。

 課堂教學(xué)被“有形”數(shù)學(xué)占滿，幾乎沒有“無形”數(shù)學(xué)的立錐之地，這個現(xiàn)實直接導(dǎo)致了刷題和套公式的盛行。一方面，老師沒有能力把“無形”的數(shù)學(xué)傳授給學(xué)生；另一方面，老師又要努力教會學(xué)生解題。一個不難想到的辦法，就是總結(jié)出各種形式套路，讓學(xué)生依葫蘆畫瓢地模仿。在既定的現(xiàn)實前提下，這也不失為一個“聰明”的招數(shù)，確實能起一些效果。然而，由于學(xué)生并沒有真正理解隱藏在套路背后的本質(zhì)，在解題時就可能會用錯套路，或者在生搬硬套的過程中出現(xiàn)各種丟三落四的問題。于是，為了提高使用套路的正確率，就需要再打補丁——大量刷題。

 這種教學(xué)方式，就像教孩子彈琴時只練指法技巧，教孩子畫畫怎樣才能畫得像。最終孩子確實能彈幾首悅耳的曲子，能畫出幾幅賞心悅目的畫，但離懂音樂和繪畫還差了老遠。唯一的好處是家長滿意了。站在家長的角度來說，他們并不在意孩子是不是懂藝術(shù)，他們在意的是孩子能擁有一項才藝。同樣，他們也并不期望孩子懂數(shù)學(xué)，而只是希望孩子能在考試中獲得一個足夠滿意的分數(shù)。

三、孩子遭遇的困難和困惑

 孩子在進入這個扭曲的教學(xué)體系后，遇到的第一個障礙是對最基本的數(shù)學(xué)概念的認知，例如“自然數(shù)”的概念和加減運算。

 教孩子認識自然數(shù)的意義，應(yīng)該使用相應(yīng)數(shù)量的小石頭（或其他物品），而不是彎來扭去的數(shù)字符號。諸如“3+5”、“12-9”等算式，成年人已經(jīng)習(xí)以為常，不存在理解困難?？墒窃诤⒆友劾?，它們卻是神秘而難以理解的涂鴉。即使他們已經(jīng)能夠把“1”和“2”這兩個符號的意義理解清楚，也還需要一段時間才能把“12”這個符號自如且準確地轉(zhuǎn)換為其所表示的數(shù)量概念。

 然而在教學(xué)實踐中，首先是過快地進入符號計算的訓(xùn)練，不少孩子還沒能理解好一堆數(shù)字符號的意義，就被推入高要求的準確率和速度訓(xùn)練中。緊接著，老師又迫不及待地開始教進位和退位，并且發(fā)明了好幾個似乎很高明的規(guī)則來幫助孩子做計算。于是，孩子們只能痛苦而無奈地把那些數(shù)字符號小心翼翼地在紙上搬來搬去，生怕哪一步一不小心就會出錯。對計算結(jié)果進行驗算時，他們也只是把剛才的那些搬運過程重新做一遍。

 遭遇第一個學(xué)習(xí)障礙時，孩子還處于對數(shù)學(xué)一無所知的完全空白階段，稱之為數(shù)學(xué)啟蒙階段。由于所涉及的都是最基本的數(shù)學(xué)概念和認知，與客觀世界和日常生活的聯(lián)系非常緊密；同時，處在這個年齡階段的孩子，邏輯和抽象能力還很弱。因此，我們建議在數(shù)學(xué)啟蒙階段避免使用數(shù)字和運算符號進行紙面練習(xí)，而應(yīng)當盡量用實物表示數(shù)量，多用口念數(shù)字而不是用筆寫數(shù)字。

 第一個障礙的本質(zhì)，不是認知的障礙，而是表達的障礙。自然數(shù)和加減法，在現(xiàn)實世界中有無數(shù)的實例可以感知，所以不存在難以認知的問題。孩子在學(xué)習(xí)中遭遇的困難，是使用特定的符號和運算規(guī)則去表達這些概念。接下來孩子要克服的第二個障礙，比起第一個障礙難度要大得多。而這個障礙，就涉及了很多概念的抽象認知。不妨來看幾個具體的例子。 

四、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的黃金期，應(yīng)該做什么

 在“黃金期”內(nèi)，我們要做的不是追求學(xué)習(xí)進度，也不是堆積知識量，而是給孩子鑄造一個足夠扎實的底子。很少人能理解這個底子的重要性，因為它就像摩天大樓深埋在地下的地基，就像參天大樹扎在泥土里的根系，不顯山不露水，只有內(nèi)行才有識別的慧眼。

 我們把“黃金期”內(nèi)需要做好的事情歸納為三部分。

其一，做好數(shù)學(xué)啟蒙，幫助孩子順利越過第一個障礙。在此順便澄清一個問題，即便不采取任何措施，第一個障礙遲早也能過去，日復(fù)一日的生活實踐就是最好的啟蒙。這也是很多人認為數(shù)學(xué)啟蒙可有可無的主要論據(jù)?？墒?，第一個障礙沒過去，會嚴重影響后面的所有學(xué)習(xí)內(nèi)容。比如我前面作為例子的幾道題目，都是以數(shù)量和數(shù)量增減的理解為基礎(chǔ)的。時間不等人，別說不能等到二三十歲才來學(xué)數(shù)學(xué)，哪怕遲幾個月學(xué)都不行啊。

其二，選擇適當?shù)念}目，引導(dǎo)孩子進行基本的邏輯分析和思維拓展訓(xùn)練。題目不求難，而是多關(guān)注孩子對解題步驟的理解和分析能力。訓(xùn)練過程遵循由易到難、逐步推進的原則，根據(jù)不同孩子的能力設(shè)定相應(yīng)的訓(xùn)練目標。最低目標是邏輯清晰，任何一個推理步驟都要有理有據(jù)，不能含混不清。我相信，只要引導(dǎo)方式正確，絕大多數(shù)孩子都有能力完成這個目標。至于更進一步提升思維復(fù)雜度和邏輯分析能力，在孩子可以接受的訓(xùn)練強度范圍內(nèi)自然是越高越好。中學(xué)階段學(xué)習(xí)的很多數(shù)學(xué)概念都有一定的抽象性，僅憑定義的文字描述很難理解其意義。很多中學(xué)生感覺數(shù)學(xué)完全學(xué)不進去，其根源都是邏輯分析和推理能力太弱。因此，小學(xué)階段的訓(xùn)練實際上是為中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好必要的準備工作。

其三，在上述訓(xùn)練過程中，讓孩子逐步形成主動思考和獨立思考的習(xí)慣，擺脫背公式記套路的壞影響。為什么公式和套路如此盛行？因為大多數(shù)有一定難度但難度不算太大的題目，都可以總結(jié)出套路公式，直接用上去就能搞定?？偨Y(jié)套路的工作，老師們都非常樂意承擔，他們教起來也省心，而學(xué)生們省時省力，自然也非常歡迎。至于難度更高的題目，還是可以繼續(xù)總結(jié)套路，只不過能用好套路的學(xué)生相對少一些而已，這也在大家的意料之中。

 很多人都聽過這樣的說法：養(yǎng)成一個好習(xí)慣需要三年，養(yǎng)成一個壞習(xí)慣只需要三分鐘。人性的弱點，決定了壞習(xí)慣通常都具有很大的誘惑力。用套路解題看起來效率很高，而且對學(xué)生的能力要求也相對低，并且也確實對教學(xué)大綱范圍內(nèi)的大多數(shù)題目都有效。甚至，大家評價一個老師是否“名師”，也是以總結(jié)套路的能力為依據(jù)——總結(jié)得好，學(xué)生用起來就更方便，也不容易出錯，還能解出更多的題目。

 得到了這么多好處，大家似乎也不介意接受這種方式的也許是唯一的害處——沒有培養(yǎng)學(xué)生真實的能力，其結(jié)果就是那個我們耳熟能詳?shù)脑~“高分低能”。套路就像毒癮一樣，一旦沾上了就很難戒掉。用慣了套路的學(xué)生，很難再有決心和毅力通過自己分析和思考來解題。每當遇到不能用原來的套路解決的題目，他們總是忍不住去尋找新的套路。

 在以上三個部分中，前兩者只關(guān)乎數(shù)學(xué)這個科目的學(xué)習(xí)，而第三部分對孩子的影響是全面而長遠的。我想，這也是數(shù)學(xué)這個科目被放在和語文同等重要的地位的最根本原因。我們可以不要求很多人具備豐富的數(shù)學(xué)知識，但每個人都應(yīng)有基本的是非判斷能力和正確的邏輯推理能力。

 我們把“黃金期”的結(jié)束時間定在小學(xué)四年級前后，是基于兩個考慮因素。一方面，從三年級開始，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容對孩子的抽象理解和認知能力要求就逐步提高了，具體表現(xiàn)為“難題”的數(shù)量逐漸增加。如果孩子的相應(yīng)能力沒有跟上學(xué)習(xí)內(nèi)容的推進速度，做不到用自己的分析來解題，唯一的選擇就是使用套路。另一方面，使用套路會上癮，用上兩三年以后，戒斷的難度已經(jīng)相當大，大多數(shù)情況下是越陷越深。事實上，套路的誘惑是一直存在的，即使在早期能夠成功抵制住，隨著學(xué)習(xí)難度的不斷增大，面對現(xiàn)實壓力也隨時會“晚節(jié)不?！薄．斎?，我們最應(yīng)該警惕的，還是從一開始就上了套路的癮，這個危害性是最大的。

 如果未能在“黃金期”內(nèi)完成必要的能力培養(yǎng)工作，后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將越來越被動，孩子所承受的壓力也將越來越大。從這個意義上說，“黃金期”的結(jié)束時間同時也是一條“生死線”。當然，這條線的具體位置并不絕對，只是一個大致的參考坐標。

 錯過了“生死線”的孩子，再要回頭來做思維訓(xùn)練是非常困難的。對于簡單的題目，他們只愿意使用自認為很方便的套路，卻又無法解釋清楚解題步驟的確切意義；對于難度稍大的題目，他們又找不到方向，對著題目發(fā)呆，即使一步一步地提示引導(dǎo)，整個過程也非常艱難。

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